Calcule integral sen x cos x d x d sin ^3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício que envolve calcular uma integral. Pelo que entendi, a expressão é um pouco confusa, mas vou assumir que você quer calcular a integral de integral sin x cos x cdot ddx(sin^3 x) , dx multiplicada pela derivada de em relação a . Ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre derivadas e integrais, especialmente a técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de ddx(sin^3 x) = 3 sin^2 x cdot cos x em relação a integral sin x cos x cdot 3 sin^2 x cos x , dx . Usando a regra do poder na derivação, temos:
Então, agora nossa integral fica:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro da integral multiplicando os termos:
sin x cos x cdot 3 sin^2 x cos x = 3 sin^3 x cos^2 x
Então, a integral fica:
3 integral sin^3 x cos^2 x , dx

Passo 4

Agora, para resolver essa integral, vamos usar a técnica de substituição. Vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Observando sin^3 x = sin^2 x cdot sin x = (1 - cos^2 x) cdot sin x , podemos escrever:
3 integral (1 - cos^2 x) cdot sin x cdot cos^2 x , dx
Substituindo isso na integral:

Passo 5

Vamos distribuir os termos dentro do integral:
3 integral sin x cos^2 x , dx - 3 integral sin x cos^4 x , dx
Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 6

Para a primeira integral, -3 integral u^2 , du = -3 cdot u^33 + C = -u^3 + C = -cos^3 x + C , vamos usar substituição. Seja , então ou . Substituindo:

Passo 7

Para a segunda integral, 3 integral u^4 , du = 3 cdot u^55 + C = 35 u^5 + C = 35 cos^5 x + C , usamos a mesma substituição , :

Passo 8

Agora, juntando as duas partes que resolvemos:
-cos^3 x + 35 cos^5 x + C

Resposta

Portanto, a integral original é:
-cos^3 x + 35 cos^5 x + C

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