Calcule

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício que envolve calcular uma integral. Pelo que entendi, a expressão é um pouco confusa, mas vou assumir que você quer calcular a integral de multiplicada pela derivada de em relação a . Ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre derivadas e integrais, especialmente a técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de em relação a . Usando a regra do poder na derivação, temos:
Então, agora nossa integral fica:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro da integral multiplicando os termos:
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, para resolver essa integral, vamos usar a técnica de substituição. Vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Observando , podemos escrever:
Substituindo isso na integral:

Passo 5

Vamos distribuir os termos dentro do integral:
Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 6

Para a primeira integral, , vamos usar substituição. Seja , então ou . Substituindo:

Passo 7

Para a segunda integral, , usamos a mesma substituição , :

Passo 8

Agora, juntando as duas partes que resolvemos:

Resposta

Portanto, a integral original é:

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Determine a derivada da função indicada: