Calcule as integrail

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando uma função que envolve um termo logarítmico. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções que são produtos de polinômios e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos usar uma técnica chamada integração por partes. Essa técnica é útil quando queremos integrar o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e .

Passo 3

Vamos definir:
  • — porque a derivada do logaritmo é simples.
  • — que é fácil de integrar.
Agora, vamos calcular e :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Simplificando a segunda integral:
Então:

Passo 5

Agora, vamos integrar :
Substituindo na expressão anterior:
Onde é a constante de integração. Mas como temos limites de integração, vamos calcular o valor definido da integral.

Passo 6

Aplicando os limites de a :
Primeiro, calculamos para :
Sabemos que , então:
Agora, para :
Sabemos que , então:

Resposta

Subtraindo as duas partes:
Portanto, o valor da integral é .

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