Calcule as integrail integral1 / 2^e / 2 t ln 2 t d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando uma função que envolve um termo logarítmico. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções que são produtos de polinômios e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos usar uma técnica chamada integração por partes. Essa técnica é útil quando queremos integrar o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e .

Passo 3

Vamos definir:
  • du = ddt ln(2t) , dt = 22t , dt = 1t , dt — porque a derivada do logaritmo é simples.
  • v = integral t , dt = t^22 — que é fácil de integrar.
Agora, vamos calcular e :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral t ln(2t) , dt = uv - integral v , du = ln(2t) cdot t^22 - integral t^22 cdot 1t , dt
Simplificando a segunda integral:
t^22 cdot 1t = t2
Então:
integral t ln(2t) , dt = t^22 ln(2t) - integral t2 , dt

Passo 5

Agora, vamos integrar integral t2 , dt = 12 cdot t^22 = t^24 :
integral t ln(2t) , dt = t^22 ln(2t) - t^24 + C
Substituindo na expressão anterior:
Onde é a constante de integração. Mas como temos limites de integração, vamos calcular o valor definido da integral.

Passo 6

Aplicando os limites de [ t^22 ln(2t) - t^24 ]1/2^e/2 a (e/2)^22 ln(2 cdot e2) - (e/2)^24 = e^28 ln(e) - e^216 :
e^28 cdot 1 - e^216 = e^28 - e^216 = e^216
Primeiro, calculamos para (1/2)^22 ln(2 cdot 12) - (1/2)^24 = 18 ln(1) - 116 :
0 - 116 = -116
Sabemos que , então:
Agora, para :
Sabemos que , então:

Resposta

Subtraindo as duas partes:
e^216 - (-116) = e^2 + 116
Portanto, o valor da integral é .

Exercícios relacionados