Calcule integral cos ^3 x sen^2 x d x

Passo 1

Temos que calcular a integral de . Vamos usar técnicas de substituição e propriedades das funções trigonométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar cos^3 x. Podemos reescrever cos^3 x como cos^2 x cdot cos x.

Passo 3

Sabemos que cos^2 x pode ser escrito como . Então, substituindo na expressão, temos:

Passo 4

Agora, vamos usar a substituição para facilitar a integração. Vamos definir:
Então, a derivada de u = sen x em relação a u é:
x

Passo 5

Substituindo u e du na integral, ficamos com:
integral (1 - u^2) cdot u^2 , du
Simplificando dentro da integral:
integral (u^2 - u^4) , du

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral u^2 , du = u^33
integral u^4 , du = u^55
Assim, a integral fica:
u^33 - u^55 + C

Passo 7

Finalmente, substituímos u de volta para :

Resposta

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