Calcule as integrais inprópreas integral0^+infty x e^-2 x d x

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo e quais conceitos precisamos usar. A gente precisa calcular a integral imprópria . Isso significa que estamos trabalhando com uma integral onde o limite superior é infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre integrais impróprias e usar a técnica de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando: . Aqui temos um polinômio ( ) multiplicado por uma função exponencial decrescente ( ). Esse tipo de integral aparece bastante em áreas como probabilidade e física.

Passo 3

Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes. A integração por partes é útil quando temos o produto de duas funções e queremos simplificar a integral. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du

Passo 4

Agora, vamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Geralmente, escolhemos como a função que se simplifica ao derivar. Então, vamos definir:
  • (porque ao derivar, simplifica para 1)

Passo 5

Com v = integral e^-2x , dx = -12 e^-2x e definidos, vamos calcular e :
Para encontrar , integramos :

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral0^+infty x e^-2x , dx = uv gr|0^+infty - integral0^+infty v , du
Substituindo = x (-12 e^-2x) gr|0^+infty - integral0^+infty (-12 e^-2x) cdot 1 , dx , , :

Passo 7

Vamos calcular o termo uv gr|0^+infty = 0 - 0 = 0 nos limites de integração:
  • Quando , porque a função exponencial decresce mais rápido que cresce.
  • Quando , .
Portanto:

Passo 8

Agora, vamos calcular a segunda parte da expressão:
-integral0^+infty (-12 e^-2x) , dx = 12 integral0^+infty e^-2x , dx
A integral de integral e^-2x , dx = -12 e^-2x + C é:

Passo 9

Aplicando os limites de integração:
12 [ -12 e^-2x ]0^+infty = 12 (0 - (-12)) = 12 cdot 12 = 14

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

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