Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo e quais conceitos precisamos usar. A gente precisa calcular a integral imprópria . Isso significa que estamos trabalhando com uma integral onde o limite superior é infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre integrais impróprias e usar a técnica de integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando: . Aqui temos um polinômio () multiplicado por uma função exponencial decrescente (). Esse tipo de integral aparece bastante em áreas como probabilidade e física.
Passo 3
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes. A integração por partes é útil quando temos o produto de duas funções e queremos simplificar a integral. A fórmula da integração por partes é:
Passo 4
Agora, vamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Geralmente, escolhemos como a função que se simplifica ao derivar. Então, vamos definir:
(porque ao derivar, simplifica para 1)
Passo 5
Com e definidos, vamos calcular e :
Para encontrar , integramos :
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo , , :
Passo 7
Vamos calcular o termo nos limites de integração:
Quando , porque a função exponencial decresce mais rápido que cresce.
Quando , .
Portanto:
Passo 8
Agora, vamos calcular a segunda parte da expressão: