Calcule as integrais inprópreas integral1^+infty x^-3 / 2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral imprópria . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais impróprias que lidam com limites infinitos. Para resolver, vamos precisar entender como calcular integrais de funções com potências negativas e como lidar com limites que vão até o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que uma integral imprópria como essa é tratada como um limite. Ou seja, substituímos o integral1^+infty x^-3/2 , dx = limb to +infty integral1^b x^-3/2 , dx por um valor que tende ao infinito. Assim, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral definida integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C (onde n neq -1) . A função integral x^-3/2 , dx = x^-3/2 + 1-3/2 + 1 + C = x^-1/2-1/2 + C = -2x^-1/2 + C pode ser integrada usando a regra de potencia:
Aqui, , então:

Passo 4

Aplicando os limites de integração de 1 a integral1^b x^-3/2 , dx = [ -2x^-1/2 ]1^b = ( -2b^-1/2 ) - ( -2(1)^-1/2 ) = -2b^-1/2 + 2 :

Passo 5

Agora, aplicamos o limite quando limb to +infty ( -2b^-1/2 + 2 ) = limb to +infty ( -2 cdot 1raizb + 2 ) tende ao infinito:
-2 cdot 0 + 2 = 2
Sabemos que tende a 0 quando vai para o infinito, então:

Resposta

O valor da integral imprópria é igual a 2.

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