Calcule as integrais inprópreas integral-infty^0 3 e^4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral imprópria: . Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais impróprias porque um dos limites de integração vai até menos infinito. Para resolver, vamos precisar conhecer a regra de integração de funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como integrar uma função exponencial. A integral de em relação a é , onde é uma constante e é a constante de integração. No nosso caso, temos , então .

Passo 3

Vamos aplicar essa regra à nossa integral. A integral de integral 3 e^4x , dx = 3 cdot 14 e^4x + C = 34 e^4x + C é:
Agora, precisamos avaliar essa antiderivada nos limites de a .

Passo 4

Para integrais impróprias como essa, usamos limites. Então, reescrevemos a integral como:
limA to -infty integralA^0 3 e^4x , dx = limA to -infty [ 34 e^4x ]A^0
Isso significa que vamos calcular menos .

Passo 5

Calculando os valores:
34 e^0 = 34 cdot 1 = 34
E,
34 e^4A
Quando tende a , também tende a , e tende a .

Passo 6

Então, substituindo de volta:
limA to -infty ( 34 - 34 e^4A ) = 34 - 0 = 34

Resposta

A integral é igual a .

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