Calcule as integrais inprópreas
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral imprópria
. Aqui, estamos lidando com integrais impróprias porque um dos limites de integração é infinito. O conteúdo envolvido é cálculo de integrais de funções exponenciais e como lidar com limites infinitos. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções exponenciais e aplicar limites adequados para tratar o infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como integrar a função
. A integral de
em relação a
é
, onde
é uma constante. No nosso caso,
, então:
Como temos um coeficiente 3 na frente, a integral fica:
Passo 3
Agora, como a integral é imprópria porque o limite inferior é
, precisamos reescrever a integral com um limite finito
que tende a
:
Passo 4
Já sabemos que a antiderivada é
. Vamos avaliar essa antiderivada de
até 0:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, vamos aplicar o limite quando
tende a
:
Quando
vai para
,
também vai para
, e
tende a 0, porque a exponencial de um número muito negativo é praticamente zero. Assim:
Resposta
O valor da integral imprópria
é
.