Calcule as integrais inprópreas integral-infty^0 3 e^4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral imprópria . Aqui, estamos lidando com integrais impróprias porque um dos limites de integração é infinito. O conteúdo envolvido é cálculo de integrais de funções exponenciais e como lidar com limites infinitos. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções exponenciais e aplicar limites adequados para tratar o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como integrar a função integral e^4x , dx = 14 e^4x + C . A integral de integral 3 e^4x , dx = 3 cdot 14 e^4x = 34 e^4x + C em relação a é , onde é uma constante. No nosso caso, , então:
Como temos um coeficiente 3 na frente, a integral fica:

Passo 3

Agora, como a integral é imprópria porque o limite inferior é integral-infty^0 3 e^4x , dx = lima to -infty integrala^0 3 e^4x , dx , precisamos reescrever a integral com um limite finito que tende a :

Passo 4

Já sabemos que a antiderivada é integrala^0 3 e^4x , dx = [ 34 e^4x ]a^0 = 34 e^0 - 34 e^4a . Vamos avaliar essa antiderivada de = 34 cdot 1 - 34 e^4a = 34 - 34 e^4a até 0:
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, vamos aplicar o limite quando lima to -infty ( 34 - 34 e^4a ) tende a 34 - 34 cdot 0 = 34 :
Quando vai para , também vai para , e tende a 0, porque a exponencial de um número muito negativo é praticamente zero. Assim:

Resposta

O valor da integral imprópria é .

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