Calcule as integrais inprópreas

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral imprópria . Aqui, estamos lidando com integrais impróprias porque um dos limites de integração é infinito. O conteúdo envolvido é cálculo de integrais de funções exponenciais e como lidar com limites infinitos. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções exponenciais e aplicar limites adequados para tratar o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como integrar a função . A integral de em relação a é , onde é uma constante. No nosso caso, , então:
Como temos um coeficiente 3 na frente, a integral fica:

Passo 3

Agora, como a integral é imprópria porque o limite inferior é , precisamos reescrever a integral com um limite finito que tende a :

Passo 4

Já sabemos que a antiderivada é . Vamos avaliar essa antiderivada de até 0:
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, vamos aplicar o limite quando tende a :
Quando vai para , também vai para , e tende a 0, porque a exponencial de um número muito negativo é praticamente zero. Assim:

Resposta

O valor da integral imprópria é .

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(i) .
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(a)