Calcule as integrais
(14) integral sec ^3 x tan x d x

Passo 1

Vamos fazer um resumo do que a gente precisa aqui. O exercício pede para calcular a integral de em relação a . Isso envolve o uso de técnicas de integração, especificamente a substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da expressão para substituir por uma nova variável, facilitando assim o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Observando a expressão u = sec x , percebemos que e estão relacionadas através de suas derivadas. Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de dudx = sec x tan x em relação a du = sec x tan x , dx para encontrar :
Isso implica que:

Passo 4

Vamos reescrever a integral original utilizando a substituição que fizemos. A integral se torna:
integral sec^3 x tan x , dx = integral sec^2 x cdot sec x tan x , dx
Substituindo integral sec^2 x cdot du = integral u^2 , du e :

Passo 5

Agora, a integral ficou bem mais simples:
integral u^2 , du
Vamos integrar em rela�o a integral u^2 , du = u^33 + C :

Passo 6

Finalmente, vamos substituir u^33 + C = (sec x)^33 + C de volta para :

Resposta

integral sec^3 x tan x , dx = sec^3 x3 + C

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