Calcule as integrais
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a integral definida de
de
até
. Estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem substituição para facilitar a resolução. Vamos precisar usar o método de substituição para simplificar a expressão antes de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir
. Isso ajuda a transformar a raiz quadrada em uma expressão mais fácil de integrar.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
na integral. Derivando
temos:
Isso significa que:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original, temos:
Precisamos ajustar os limites de integração de acordo com a substituição
:
- Quando
, - Quando
,
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar
. Sabemos que:
Como estamos fazendo uma integral definida, não precisamos do
. Aplicando os limites de integração:
Resposta
A integral vale: