Calcule as integrais
(20) integral1^4 1x^2 raiz1+1x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a integral definida de de até . Estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem substituição para facilitar a resolução. Vamos precisar usar o método de substituição para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir . Isso ajuda a transformar a raiz quadrada em uma expressão mais fácil de integrar.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = -1x^2 em relação a du = -1x^2 dx ou -du = 1x^2 dx para substituir na integral. Derivando temos:
Isso significa que:

Passo 4

Substituindo integral1^4 1x^2 raiz1+1x , dx = integralu(1)^u(4) -raizu , du e - integral2^54 raizu , du = integral54^2 raizu , du na integral original, temos:
Precisamos ajustar os limites de integração de acordo com a substituição :
  • Quando ,
  • Quando ,
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral raizu , du = integral u^12 , du = 23 u^32 + C . Sabemos que:
23 u^32 gr|54^2 = 23 (2^32 - (54)^32)
Como estamos fazendo uma integral definida, não precisamos do . Aplicando os limites de integração:

Resposta

A integral vale:
23 (2^32 - (54)^32)

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