Determine a região do plano ty onde as hipóteses do teorema de existência e unicidade são satisfeitas.
(a)
(b) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar onde, no plano ty, as condições do teorema de existência e unicidade estão valendo para as equações diferenciais dadas. Isso envolve verificar onde a função e sua derivada parcial em relação a y são contínuas. Vamos precisar usar o conceito de continuidade e as condições do teorema de Picard-Lindelöf para garantir que a solução existe e é única nessa região.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): . Aqui, a função .

Passo 3

Primeiro, precisamos encontrar onde está bem definida. O que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero:
Isso significa que:
Essa é a equação de um círculo com raio 1 centrado na origem. Então, a função está definida dentro e na fronteira desse círculo.

Passo 4

Agora, vamos verificar a continuidade de . A raiz quadrada é contínua onde seu argumento é não negativo, ou seja, dentro do círculo .

Passo 5

Em seguida, calculamos a derivada parcial de em relação a y:
Para que essa derivada exista e seja contínua, o denominador não pode ser zero:
Então, a derivada parcial é contínua dentro do círculo, mas não na fronteira.

Passo 6

Portanto, as hipóteses do teorema de existência e unicidade são satisfeitas na região onde .

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b): . Aqui, a função .

Passo 8

Primeiro, precisamos garantir que o denominador não seja zero, porque isso tornaria a função indefinida:
Fatorando:
Então, e .

Passo 9

Agora, vamos verificar a continuidade de . A função é contínua onde o denominador não é zero, ou seja, em todas as regiões do plano ty exceto nas linhas e .

Passo 10

Em seguida, calculamos a derivada parcial de em relação a y:
Essa derivada existe e é contínua onde o denominador não é zero, o que já garantimos que e .

Passo 11

Portanto, as hipóteses do teorema de existência e unicidade são satisfeitas em todo o plano ty, exceto nas linhas e .

Resposta

Para a parte (b), as hipóteses do teorema de existência e unicidade são satisfeitas na região do plano ty onde e .

Exercícios relacionados

Se um objeto move-se ao longo de uma reta com função posição , então sua velocidade é . Se quisermos calcular a distância percorrida durante o intervalo de tempo, teremos de considerar os intervalos quando (a partícula move-se para a direita) e também os intervalos quando (a partícula move-se para a esquerda). Em ambos os casos a distância é computada integrando-se . A aceleração do objeto é .
Uma partícula move-se ao longo de uma reta de tal forma que sua aceleração no instante é .
© Ache a distância percorrida durante esse período de tempo.
Determine (sem resolver o problema) um intervalo no qual a solução do problema de valor inicial dado certamente existe.
(a)
(b)
© ;
Calcule as integrais
(6)
Calcule as integrais
(14)