Determine a região do plano ty onde as hipóteses do teorema de existência e unicidade são satisfeitas.
(a)
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar onde, no plano ty, as condições do teorema de existência e unicidade estão valendo para as equações diferenciais dadas. Isso envolve verificar onde a função e sua derivada parcial em relação a y são contínuas. Vamos precisar usar o conceito de continuidade e as condições do teorema de Picard-Lindelöf para garantir que a solução existe e é única nessa região.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a):
. Aqui, a função
.
Passo 3
Primeiro, precisamos encontrar onde
está bem definida. O que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero:
Isso significa que:
Essa é a equação de um círculo com raio 1 centrado na origem. Então, a função está definida dentro e na fronteira desse círculo.
Passo 4
Agora, vamos verificar a continuidade de
. A raiz quadrada é contínua onde seu argumento é não negativo, ou seja, dentro do círculo
.
Passo 5
Em seguida, calculamos a derivada parcial de
em relação a y:
Para que essa derivada exista e seja contínua, o denominador não pode ser zero:
Então, a derivada parcial é contínua dentro do círculo, mas não na fronteira.
Passo 6
Portanto, as hipóteses do teorema de existência e unicidade são satisfeitas na região onde
.
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b):
. Aqui, a função
.
Passo 8
Primeiro, precisamos garantir que o denominador
não seja zero, porque isso tornaria a função indefinida:
Fatorando:
Então,
e
.
Passo 9
Agora, vamos verificar a continuidade de
. A função é contínua onde o denominador não é zero, ou seja, em todas as regiões do plano ty exceto nas linhas
e
.
Passo 10
Em seguida, calculamos a derivada parcial de
em relação a y:
Essa derivada existe e é contínua onde o denominador
não é zero, o que já garantimos que
e
.
Passo 11
Portanto, as hipóteses do teorema de existência e unicidade são satisfeitas em todo o plano ty, exceto nas linhas
e
.
Resposta
Para a parte (b), as hipóteses do teorema de existência e unicidade são satisfeitas na região do plano ty onde
e
.