Calcule as integrais
(6) integral sec ^2 3 theta d theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de em relação a . Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente envolvendo integrais de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções como a secante ao quadrado e aplicar uma substituição para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de integral sec^2 x , dx = tan x + C em relação a é , onde é a constante de integração. Ou seja:

Passo 3

No nosso caso, temos dudtheta = 3 Rightarrow dtheta = du3 em vez de . Para lidar com isso, precisamos usar uma substituição. Vamos deixar . Assim, a derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora, substituímos na integral original:
integral sec^2(3 theta) , dtheta = integral sec^2 u cdot du3 = 13 integral sec^2 u , du

Passo 5

Sabendo que 13 integral sec^2 u , du = 13 tan u + C , substituímos de volta:

Passo 6

Lembrando que 13 tan u + C = 13 tan(3 theta) + C , substituímos novamente:

Resposta

Portanto, a integral de integral sec^2(3 theta) , dtheta = 13 tan(3 theta) + C em relação a é:

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