Calcule as integrais
(19)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com integração por substituição. Para resolver isso, precisamos entender como simplificar a expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar o problema. Olhando para a expressão , percebemos que multiplicado por algo que envolve sugere que podemos usar uma substituição.

Passo 3

Vamos fazer a substituição . Isso significa que precisamos encontrar em termos de . Derivando ambos os lados em relação a , temos:
Isso nos dá .

Passo 4

Agora, substituímos por na integral original:
Aqui, ajustamos também os limites de integração de acordo com a substituição :

Passo 5

Agora a integral fica mais simples:
A integral de em relação a é , então temos:

Passo 6

Finalmente, aplicamos os limites de integração:
Sabemos que , então:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule as integrais
(2)
Mostre que a equação dada é homogênea e resolva.
(a)
(b) e
©
Determine (sem resolver o problema) um intervalo no qual a solução do problema de valor inicial dado certamente existe.
(a)
(b)
© ;
Se um objeto move-se ao longo de uma reta com função posição , então sua velocidade é . Se quisermos calcular a distância percorrida durante o intervalo de tempo, teremos de considerar os intervalos quando (a partícula move-se para a direita) e também os intervalos quando (a partícula move-se para a esquerda). Em ambos os casos a distância é computada integrando-se . A aceleração do objeto é .
Uma partícula move-se ao longo de uma reta de tal forma que sua aceleração no instante é .
© Ache a distância percorrida durante esse período de tempo.