Calcule as integrais
(19) integral0^pi x cos (x^2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com integração por substituição. Para resolver isso, precisamos entender como simplificar a expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar o problema. Olhando para a expressão , percebemos que multiplicado por algo que envolve sugere que podemos usar uma substituição.

Passo 3

Vamos fazer a substituição du = 2x , dx . Isso significa que precisamos encontrar em termos de . Derivando ambos os lados em relação a , temos:
Isso nos dá .

Passo 4

Agora, substituímos integral0^pi x cos (x^2) dx = integralu(0)^u(pi) cos(u) cdot du2 por u(0) = 0^2 = 0 e u(pi) = pi^2 na integral original:
Aqui, ajustamos também os limites de integração de acordo com a substituição :

Passo 5

Agora a integral fica mais simples:
12 integral0^pi^2 cos(u) , du
A integral de 12 [ sin(u) ]0^pi^2 em relação a é , então temos:

Passo 6

Finalmente, aplicamos os limites de integração:
12 [ sin(pi^2) - sin(0) ]
Sabemos que 12 sin(pi^2) , então:

Resposta

A integral é igual a .

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