Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial que precisa a gente provar que é homogênea e resolver ela. O conteúdo principal aqui é equações diferenciais homogêneas, que são aquelas onde as funções no numerador e denominador têm o mesmo grau. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma equação ser homogênea e aplicar métodos de substituição, como . Vamos resolver a parte (a):
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que a equação é homogênea. Uma equação é homogênea se todos os termos da função tiverem o mesmo grau. Vamos analisar os termos do numerador e denominador.
No numerador:
tem grau 2.
também tem grau 2.
No denominador:
tem grau 1 + 1 = 2.
Como todos os termos têm o mesmo grau (grau 2), a equação é realmente homogênea.
Passo 3
Agora que sabemos que a equação é homogênea, vamos resolver usando a substituição . Isso significa que . Nosso objetivo é transformar a equação em termos de e para facilitar a solução.
Primeiro, vamos derivar em relação a :
Passo 4
Substituímos por na equação original:
Simplificando:
Passo 5
Vamos isolar :
Então:
Passo 6
Agora, a equação está separável. Vamos rearranjar os termos para separar as variáveis e :
Isso nos permite integrar ambos os lados:
Passo 7
Vamos calcular as integrais:
No lado esquerdo:
No lado direito:
Podemos simplificar juntando as constantes:
Passo 8
Agora, vamos resolver para :
Primeiro, eliminamos os logaritmos exponenciando ambos os lados:
Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando tudo por :
Podemos escrever isso como:
Resposta
A solução geral da equação diferencial homogênea dada é: