Mostre que a equação dada é homogênea e resolva.
(a)
(b) e
©

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial que precisa a gente provar que é homogênea e resolver ela. O conteúdo principal aqui é equações diferenciais homogêneas, que são aquelas onde as funções no numerador e denominador têm o mesmo grau. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma equação ser homogênea e aplicar métodos de substituição, como . Vamos resolver a parte (a):

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que a equação é homogênea. Uma equação é homogênea se todos os termos da função tiverem o mesmo grau. Vamos analisar os termos do numerador e denominador.
No numerador:
  • tem grau 2.
  • também tem grau 2.
No denominador:
  • tem grau 1 + 1 = 2.
Como todos os termos têm o mesmo grau (grau 2), a equação é realmente homogênea.

Passo 3

Agora que sabemos que a equação é homogênea, vamos resolver usando a substituição . Isso significa que . Nosso objetivo é transformar a equação em termos de e para facilitar a solução.
Primeiro, vamos derivar em relação a :

Passo 4

Substituímos por na equação original:
Simplificando:

Passo 5

Vamos isolar :
Então:

Passo 6

Agora, a equação está separável. Vamos rearranjar os termos para separar as variáveis e :
Isso nos permite integrar ambos os lados:

Passo 7

Vamos calcular as integrais:
No lado esquerdo:
No lado direito:
Podemos simplificar juntando as constantes:

Passo 8

Agora, vamos resolver para :
Primeiro, eliminamos os logaritmos exponenciando ambos os lados:
Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando tudo por :
Podemos escrever isso como:

Resposta

A solução geral da equação diferencial homogênea dada é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Determine a ordem da equação e diga se ela é linear ou não.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Calcule as integrais
(2)
Calcule as integrais
(19)