Se um objeto move-se ao longo de uma reta com função posição s(t), então sua velocidade é v(t) = s'(t). Se quisermos calcular a distância percorrida durante o intervalo de tempo, teremos de considerar os intervalos quando v(t) ≥ 0 (a partícula move-se para a direita) e também os intervalos quando v(t) <= 0 (a partícula move-se para a esquerda). Em ambos os casos a distância é computada integrando-se |v(t)|. A aceleração do objeto é a(t) = v(t).
Uma partícula move-se ao longo de uma reta de tal forma que sua aceleração no instante t é a(t) = 2t - 1 m/s².
© Ache a distância percorrida durante esse período de tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o movimento de uma partícula ao longo de uma reta. A gente sabe que a aceleração da partícula é dada por . Nosso objetivo aqui é encontrar a distância total percorrida pela partícula durante um certo período de tempo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como a integração, e entender a relação entre aceleração, velocidade e posição.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a velocidade da partícula. Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja:
Para encontrar , vamos integrar a aceleração em relação ao tempo:
Integrando termo a termo:
Aqui, é a constante de integração que depende das condições iniciais da velocidade. Como não temos valores iniciais fornecidos, vamos considerar que para simplificar (ou assumir que a velocidade inicial é zero).
Então, nossa função de velocidade fica:

Passo 3

Agora, para encontrar a distância percorrida, precisamos considerar a função velocidade no valor absoluto, porque a distância é sempre positiva, independentemente da direção do movimento. A distância é dada por:
Antes de integrar, precisamos descobrir se a velocidade muda de sinal no intervalo considerado, ou seja, onde :
Isso significa que a velocidade muda de direção em segundo. Então, devemos dividir a integral em dois intervalos: de a 1 e de 1 a .

Passo 4

Vamos calcular a distância em cada intervalo separadamente.
Para de 0 a 1:
Então, a distância nesse intervalo é:
Para de 1 a :
A distância nesse intervalo é:

Passo 5

Agora, somamos as distâncias dos dois intervalos para obter a distância total percorrida:

Resposta

A distância total percorrida pela partícula no intervalo de tempo considerado é:

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