Se um objeto move-se ao longo de uma reta com função posição
, então sua velocidade é
. Se quisermos calcular a distância percorrida durante o intervalo de tempo, teremos de considerar os intervalos quando
(a partícula move-se para a direita) e também os intervalos quando
(a partícula move-se para a esquerda). Em ambos os casos a distância é computada integrando-se
. A aceleração do objeto é
.
Uma partícula move-se ao longo de uma reta de tal forma que sua aceleração no instante
é
.
© Ache a distância percorrida durante esse período de tempo.
Uma partícula move-se ao longo de uma reta de tal forma que sua aceleração no instante
© Ache a distância percorrida durante esse período de tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o movimento de uma partícula ao longo de uma reta. A gente sabe que a aceleração da partícula é dada por
. Nosso objetivo aqui é encontrar a distância total percorrida pela partícula durante um certo período de tempo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como a integração, e entender a relação entre aceleração, velocidade e posição.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a velocidade da partícula. Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja:
Para encontrar
, vamos integrar a aceleração em relação ao tempo:
Integrando termo a termo:
Aqui,
é a constante de integração que depende das condições iniciais da velocidade. Como não temos valores iniciais fornecidos, vamos considerar que
para simplificar (ou assumir que a velocidade inicial é zero).
Então, nossa função de velocidade fica:
Passo 3
Agora, para encontrar a distância percorrida, precisamos considerar a função velocidade no valor absoluto, porque a distância é sempre positiva, independentemente da direção do movimento. A distância
é dada por:
Antes de integrar, precisamos descobrir se a velocidade muda de sinal no intervalo considerado, ou seja, onde
:
Isso significa que a velocidade muda de direção em
segundo. Então, devemos dividir a integral em dois intervalos: de
a 1 e de 1 a
.
Passo 4
Vamos calcular a distância em cada intervalo separadamente.
Para
de 0 a 1:
Então, a distância nesse intervalo é:
Para
de 1 a
:
A distância nesse intervalo é:
Passo 5
Agora, somamos as distâncias dos dois intervalos para obter a distância total percorrida:
Resposta
A distância total percorrida pela partícula no intervalo de tempo considerado é: