Determine (sem resolver o problema) um intervalo no qual a solução do problema de valor inicial dado certamente existe.
(a) (t-3) y' + (ln t) y = 2t, y(1) = 2 ; (0 < t < 3)
(b) (4 - t^2) y' + 2 t y = 3 t^2, y(-3) = 1 -infinito < t < -2
© (4 - t^2) y' + 2 t y = 3 t^2, y(1) = -3; -2 < t < 2

Passo 1

Fala aí! Vamos dar uma olhada nesse exercício de Equações Diferenciais. O que a gente precisa fazer é determinar um intervalo onde a solução do problema de valor inicial dado certamente existe. Para isso, vamos usar o Teorema de Existência e Unicidade, que basicamente nos diz que se os coeficientes da equação diferencial são contínuos em algum intervalo ao redor do ponto inicial, então a solução existe e é única nesse intervalo. Vamos analisar cada item separadamente.

Passo 2

(a)
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão . Para isso, dividimos tudo por :
Agora, precisamos verificar onde os coeficientes e são contínuos.
  • é contínuo para .
  • O denominador não pode ser zero, então .
O ponto inicial é , e o intervalo dado é . Nesse intervalo, todas as funções envolvidas são contínuas, então a solução certamente existe e é única nesse intervalo.
(b) ;
Vamos novamente colocar na forma padrão:
Analisando os coeficientes:
  • e são contínuos onde , ou seja, .
O ponto inicial é , e o intervalo dado é . Nesse intervalo, não se anula, e todas as funções são contínuas. Portanto, a solução existe e é única nesse intervalo.
© ;
Novamente, colocando na forma padrão:
Verificando a continuidade:
  • implica .
  • No intervalo , nunca é zero.
O ponto inicial é , e todas as funções são contínuas nesse intervalo. Assim, a solução certamente existe e é única nesse intervalo.

Resposta

A solução do problema de valor inicial certamente existe e é única nos seguintes intervalos:
  • (a)
  • (b)
  • ©

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