Determine (sem resolver o problema) um intervalo no qual a solução do problema de valor inicial dado certamente existe.
(a)
(b)
;
©
;
(a)
(b)
©
Passo 1
Fala aí! Vamos dar uma olhada nesse exercício de Equações Diferenciais. O que a gente precisa fazer é determinar um intervalo onde a solução do problema de valor inicial dado certamente existe. Para isso, vamos usar o Teorema de Existência e Unicidade, que basicamente nos diz que se os coeficientes da equação diferencial são contínuos em algum intervalo ao redor do ponto inicial, então a solução existe e é única nesse intervalo. Vamos analisar cada item separadamente.
Passo 2
(a)
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão
. Para isso, dividimos tudo por
:
Agora, precisamos verificar onde os coeficientes
e
são contínuos.
-
é contínuo para . - O denominador
não pode ser zero, então .
O ponto inicial é
, e o intervalo dado é
. Nesse intervalo, todas as funções envolvidas são contínuas, então a solução certamente existe e é única nesse intervalo.
(b)
;
Vamos novamente colocar na forma padrão:
Analisando os coeficientes:
-
e são contínuos onde , ou seja, .
O ponto inicial é
, e o intervalo dado é
. Nesse intervalo,
não se anula, e todas as funções são contínuas. Portanto, a solução existe e é única nesse intervalo.
©
;
Novamente, colocando na forma padrão:
Verificando a continuidade:
-
implica . - No intervalo
, nunca é zero.
O ponto inicial é
, e todas as funções são contínuas nesse intervalo. Assim, a solução certamente existe e é única nesse intervalo.
Resposta
A solução do problema de valor inicial certamente existe e é única nos seguintes intervalos:
- (a)
- (b)
- ©