Esboce o gráfico das funções abaixo :
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da função
. Isso está relacionado ao estudo de funções de duas variáveis, mais especificamente, funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como essa função se comporta no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Aqui,
e
são as variáveis independentes, e
é a variável dependente. A função exponencial
cresce rapidamente à medida que
aumenta. No nosso caso,
, que é sempre positivo ou zero.
Passo 3
Vamos ver o que acontece quando
e
variam. Quando
e
, temos
. À medida que nos afastamos da origem (isto é, aumentando os valores de
e/ou
),
aumenta, então
também aumenta exponencialmente.
Passo 4
Para esboçar o gráfico, vamos pensar em curvas de nível, que são linhas onde
é constante. Se fixarmos
, então
. Tirando o logaritmo natural dos dois lados, temos
. Isso representa círculos concêntricos ao redor da origem no plano
, com raio
.
Passo 5
Visualizando isso em 3D, o gráfico da função
será uma superfície que cresce rapidamente à medida que nos afastamos do centro. No ponto
, a superfície tem seu ponto mais baixo. Conforme
e
aumentam em qualquer direção, a altura
sobe de forma exponencial, criando uma espécie de “cúpula” muito íngreme e simétrica em todas as direções.
Resposta
O gráfico da função
é uma superfície tridimensional em forma de cúpula simétrica que cresce rapidamente à medida que
e
se afastam da origem, com o ponto mais baixo em
.
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(20)
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Esboce o gráfico das funções abaixo :
a)
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Trace algumas curvas de nível das funções abaixo:
b)
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Esboce o gráfico das funções abaixo :
d)
d)