Encontre solução do problema de valor inicial dado.
(a) y' + 2y = t e^(-2t), y(1) = 0 (y = (t^2 - 1)e^(-2t) / 2)
(b) t y' + 2 y = t^2 - t + 1, y(1) = 1/2, t > 0 y = (3 t^4 - 4 t^3 + 6 t^2 + 1) / (12 t^2)
© y' + 2/t y = cos(t)/t^2, y(pi) = 0, t > 0
(d) t^3 y' + 4 t^2 y = e^(-t), y(-1) = 0, t < 0 y = -(1+t) e^(-t) / t^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial. A gente tem uma equação diferencial do tipo linear de primeira ordem:
Pra resolver isso, vamos usar o método do fator integrante. Vamos precisar conhecer um pouco sobre equações lineares e como aplicar esse método passo a passo.

Passo 2

Primeiro, identifique os coeficientes na equação. A equação está no formato padrão:
Aqui, temos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Vamos calcular a integral de :
Então, o fator integrante é:

Passo 4

Multiplique toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando os termos:

Passo 5

A equação do lado esquerdo agora é a derivada do produto . Então, podemos reescrever a equação como:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Resolvemos para :

Passo 8

Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante . Sabemos que :

Passo 9

Com , a solução particular é:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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