Calcule as integrais abaixo:
(a) 12 pi i oint e^zz-2 d z sobre o círculo: |z-2|=1;

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a pergunta está pedindo. Temos que calcular a integral de contorno:
12 pi i oint e^zz-2 , dz
sobre o círculo definido por . Isso significa que estamos integrando ao redor de um círculo com raio 1, centrado no ponto . O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais no contexto de funções complexas, mais especificamente usando a Fórmula de Cauchy. Vamos precisar entender um pouco sobre singularidades e como as integrais de contorno funcionam nessas situações.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que temos na integral. A função que estamos integrando é . Aqui, é uma função inteira (holomorfa em todo o plano complexo), e temos uma fração onde o denominador se anula em .
Essa anulação ocorre exatamente no centro do nosso círculo de integração . Isso nos diz que temos um ponto singular (uma singularidade simples) dentro do contorno de integração.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Fórmula de Cauchy para integrais de contorno. A Fórmula de Cauchy afirma que se 12 pi i oint f(z)z - a , dz = f(a) é holomorfa dentro e sobre um contorno fechado , e é um ponto dentro de , então:
No nosso caso, e . Como é holomorfa em todo lugar e está dentro do nosso contorno , podemos aplicar essa fórmula diretamente.

Passo 4

Aplicando a Fórmula de Cauchy, substituímos 12 pi i oint e^zz - 2 , dz = e^2 por :

Resposta

e^2

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