Calcule as integrais abaixo:
(a)
sobre o círculo:
;
(a)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a pergunta está pedindo. Temos que calcular a integral de contorno:
sobre o círculo definido por
. Isso significa que estamos integrando ao redor de um círculo com raio 1, centrado no ponto
. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais no contexto de funções complexas, mais especificamente usando a Fórmula de Cauchy. Vamos precisar entender um pouco sobre singularidades e como as integrais de contorno funcionam nessas situações.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que temos na integral. A função que estamos integrando é
. Aqui,
é uma função inteira (holomorfa em todo o plano complexo), e temos uma fração onde o denominador
se anula em
.
Essa anulação ocorre exatamente no centro do nosso círculo de integração
. Isso nos diz que temos um ponto singular (uma singularidade simples) dentro do contorno de integração.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Fórmula de Cauchy para integrais de contorno. A Fórmula de Cauchy afirma que se
é holomorfa dentro e sobre um contorno fechado
, e
é um ponto dentro de
, então:
No nosso caso,
e
. Como
é holomorfa em todo lugar e
está dentro do nosso contorno
, podemos aplicar essa fórmula diretamente.
Passo 4
Aplicando a Fórmula de Cauchy, substituímos
por
:
Resposta
Exercícios relacionados
Verifique se as funções abaixo são analíticas:
(h) iy
(h)
Inverta a ordem de integração.
(e)
(e)
Calcule o resíduo das seguintes funções para um contorno dado por um círculo de raio igual a
.
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