Calcule as integrais abaixo:
(a) sobre o círculo: ;

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a pergunta está pedindo. Temos que calcular a integral de contorno:
sobre o círculo definido por . Isso significa que estamos integrando ao redor de um círculo com raio 1, centrado no ponto . O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais no contexto de funções complexas, mais especificamente usando a Fórmula de Cauchy. Vamos precisar entender um pouco sobre singularidades e como as integrais de contorno funcionam nessas situações.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que temos na integral. A função que estamos integrando é . Aqui, é uma função inteira (holomorfa em todo o plano complexo), e temos uma fração onde o denominador se anula em .
Essa anulação ocorre exatamente no centro do nosso círculo de integração . Isso nos diz que temos um ponto singular (uma singularidade simples) dentro do contorno de integração.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Fórmula de Cauchy para integrais de contorno. A Fórmula de Cauchy afirma que se é holomorfa dentro e sobre um contorno fechado , e é um ponto dentro de , então:
No nosso caso, e . Como é holomorfa em todo lugar e está dentro do nosso contorno , podemos aplicar essa fórmula diretamente.

Passo 4

Aplicando a Fórmula de Cauchy, substituímos por :

Resposta

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Verifique se as funções abaixo são analíticas:
(h) iy
Inverta a ordem de integração.
(e)
Calcule o resíduo das seguintes funções para um contorno dado por um círculo de raio igual a .
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