Calcule o resíduo das seguintes funções para um contorno dado por um círculo de raio igual a .
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Passo 1

Beleza, então a gente tem que calcular o resíduo da função dentro de um círculo com raio 1, ou seja, . Pra isso, vamos usar a teoria de resíduos, que ajuda a gente a encontrar coeficientes específicos nas expansões de funções complexas. A gente precisa identificar os polos da função dentro desse contorno e calcular o resíduo no ponto relevante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função tem singularidades, ou seja, pontos onde ela não é analítica. A tangente, , tem singularidades onde o cosseno é zero, que ocorre em para todo inteiro . Porém, dentro do círculo , o único ponto a considerar é , já que os outros polos estão fora desse raio.

Passo 3

Agora, vamos expandir a função em série de Taylor em torno de . Sabemos que:
Dividindo isso por , temos:

Passo 4

Na expansão de Laurent da função , o resíduo é o coeficiente do termo . Observando a série que obtivemos:
Vemos que o coeficiente de é 1.

Resposta

O resíduo de dentro do contorno é igual a 1.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais abaixo:
(a) sobre o círculo: ;
Determine os pontos singulares de cada uma das seguintes funções e diga por que a função é analítica em todos os pontos, exceto nesses pontos:
(b)
Calcule as seguintes integrais (justifique suas respostas):
(b) , para um contorno C sobre o círculo: .