Calcule o resíduo das seguintes funções para um contorno dado por um círculo de raio igual a
.
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Passo 1
Beleza, então a gente tem que calcular o resíduo da função
dentro de um círculo com raio 1, ou seja,
. Pra isso, vamos usar a teoria de resíduos, que ajuda a gente a encontrar coeficientes específicos nas expansões de funções complexas. A gente precisa identificar os polos da função dentro desse contorno e calcular o resíduo no ponto relevante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função
tem singularidades, ou seja, pontos onde ela não é analítica. A tangente,
, tem singularidades onde o cosseno é zero, que ocorre em
para todo inteiro
. Porém, dentro do círculo
, o único ponto a considerar é
, já que os outros polos estão fora desse raio.
Passo 3
Agora, vamos expandir a função
em série de Taylor em torno de
. Sabemos que:
Dividindo isso por
, temos:
Passo 4
Na expansão de Laurent da função
, o resíduo é o coeficiente do termo
. Observando a série que obtivemos:
Vemos que o coeficiente de
é 1.
Resposta
O resíduo de
dentro do contorno
é igual a 1.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais abaixo:
(a) sobre o círculo:
;
(a)
Determine os pontos singulares de cada uma das seguintes funções e diga por que a função é analítica em todos os pontos, exceto nesses pontos:
(b)
(b)
Calcule as seguintes integrais (justifique suas respostas):
(b) , para um contorno C sobre o círculo:
.
(b)