Calcule as integrais abaixo:
(f) oint 1(z^2+1)(z^2+4) d z sobre o círculo: |z|=32

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de contorno que é:
oint 1(z^2+1)(z^2+4) , dz
Sobre o círculo . Vamos usar conceitos de Cálculo Complexo, especificamente o Teorema dos Resíduos, que nos ajuda a calcular integrais em torno de caminhos fechados no plano complexo.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os pólos da função que estamos integrando. Pólos são os valores de (z^2 + 1)(z^2 + 4) = 0 que fazem o denominador da fração ser zero. Então, resolvemos:
z^2 + 1 = 0 Rightarrow z = pm i
Isso nos dá:
z^2 + 4 = 0 Rightarrow z = pm 2i
Então, temos pólos em .

Passo 3

Agora, vamos determinar quais desses pólos estão dentro do círculo |i| = 1 (dentro), . Calculamos a magnitude de cada pólo:
|-i| = 1 (dentro),
|2i| = 2 (fora),
|-2i| = 2 (fora)
Portanto, os pólos e estão dentro do caminho de integração.

Passo 4

Vamos calcular os res��duos nesses pólos. Para isso, usamos a fórmula do resíduo para pólos simples:
Res(f, z0) = 1 ddz( (z^2 + 1)(z^2 + 4) ) |z = z0
Mas uma forma mais direta é reescrever a função como:
f(z) = 1(z^2 +1)(z^2 +4) = 1(z - i)(z + i)(z - 2i)(z + 2i)
Para Res(f, i) = 1(2i)(i^2 + 4) = 12i(-1 + 4) = 12i cdot 3 = 16i :
Res(f, i) = -i6
Simplificando Res(f, -i) = 1(-2i)((-i)^2 + 4) = 1-2i(-1 + 4) = 1-2i cdot 3 = -16i = i6 , então:
Para :

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema dos Resíduos, que diz que a integral é igual a oint 1(z^2+1)(z^2+4) , dz = 2pi i ( Res(f, i) + Res(f, -i) ) vezes a soma dos resíduos dentro do caminho de integração:
2pi i ( -i6 + i6 ) = 2pi i cdot 0 = 0
Substituindo os resíduos encontrados:

Resposta

A integral vale 0.

Exercícios relacionados