Beleza, vamos resolver essa integral de contorno que é:
Sobre o círculo . Vamos usar conceitos de Cálculo Complexo, especificamente o Teorema dos Resíduos, que nos ajuda a calcular integrais em torno de caminhos fechados no plano complexo.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os pólos da função que estamos integrando. Pólos são os valores de que fazem o denominador da fração ser zero. Então, resolvemos:
Isso nos dá:
Então, temos pólos em .
Passo 3
Agora, vamos determinar quais desses pólos estão dentro do círculo . Calculamos a magnitude de cada pólo:
Portanto, os pólos e estão dentro do caminho de integração.
Passo 4
Vamos calcular os res��duos nesses pólos. Para isso, usamos a fórmula do resíduo para pólos simples:
Mas uma forma mais direta é reescrever a função como:
Agora, aplicamos o Teorema dos Resíduos, que diz que a integral é igual a oint 1(z^2+1)(z^2+4) , dz = 2pi i ( Res(f, i) + Res(f, -i) ) vezes a soma dos resíduos dentro do caminho de integração: