Inverta a ordem de integração.
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa inverter a ordem de integração de uma integral dupla. Isso significa que, originalmente, a gente está integrando primeiro em relação a
e depois em relação a
, e queremos mudar para integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
A integral que temos é:
Vamos precisar entender os limites de integração e como a região de integração se parece no plano
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites atuais. A integral externa é em
, variando de
até
. Para cada valor de
,
varia de
até
.
Vamos pensar em como isso se representa graficamente. A gente tem duas funções de
:
Essas duas curvas vão delimitar a região onde vamos integrar.
Passo 3
Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar
em termos de
. Ou seja, para cada
, vamos determinar os limites de
.
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se cruzam para saber os limites de
.
Igualando
a
:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Simplificando:
Multiplicando os dois lados por 3:
Expandindo o quadrado:
Levendo tudo para um lado:
Resolvendo a equação quadrática:
Então,
ou
.
Isso confirma que as curvas se cruzam nos limites de
dados.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de
. Observando os limites de
de
a
, vamos ver como
varia dentro desse intervalo.
Para
entre
e
, a menor valor de
é dado por
e a maior por
.
Queremos expressar esses limites em termos de
. Para isso, precisamos encontrar os valores mínimos e máximos de
.
Quando
:
Quando
:
Então,
varia de
a
.
Passo 5
Agora, para cada valor de
entre
e
, precisamos encontrar os limites de
.
Vamos resolver as equações das curvas para
:
- Da equação
:
- Da equação
:
Então, para cada
,
varia entre
e
. Porém, precisamos verificar quais desses valores fazem sentido dentro do intervalo de
.
Passo 6
Considerando o intervalo de
de
a
:
- A curva
para dá e para dá . - A curva
está definida para , o que é aproximadamente , que está dentro do nosso intervalo de .
Então, o limite inferior de
é
e o limite superior é
.
Passo 7
Finalmente, podemos escrever a integral com a ordem de integração invertida. Agora,
varia de
a
, e para cada
,
varia de
até
.
Então, a integral invertida fica:
Resposta
A ordem de integração invertida é: