Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa inverter a ordem de integração de uma integral dupla. Isso significa que, originalmente, a gente está integrando primeiro em relação a e depois em relação a , e queremos mudar para integrar primeiro em relação a e depois em relação a .
A integral que temos é:
Vamos precisar entender os limites de integração e como a região de integração se parece no plano .
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites atuais. A integral externa é em , variando de até . Para cada valor de , varia de até .
Vamos pensar em como isso se representa graficamente. A gente tem duas funções de :
Essas duas curvas vão delimitar a região onde vamos integrar.
Passo 3
Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar em termos de . Ou seja, para cada , vamos determinar os limites de .
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se cruzam para saber os limites de .
Igualando a :
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Simplificando:
Multiplicando os dois lados por 3:
Expandindo o quadrado:
Levendo tudo para um lado:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, ou .
Isso confirma que as curvas se cruzam nos limites de dados.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de . Observando os limites de de a , vamos ver como varia dentro desse intervalo.
Para entre e , a menor valor de é dado por e a maior por .
Queremos expressar esses limites em termos de . Para isso, precisamos encontrar os valores mínimos e máximos de .
Quando :
Quando :
Então, varia de a .
Passo 5
Agora, para cada valor de entre e , precisamos encontrar os limites de .
Vamos resolver as equações das curvas para :
Da equação :
Da equação :
Então, para cada , varia entre e . Porém, precisamos verificar quais desses valores fazem sentido dentro do intervalo de .
Passo 6
Considerando o intervalo de de a :
A curva para dá e para dá .
A curva está definida para , o que é aproximadamente , que está dentro do nosso intervalo de .
Então, o limite inferior de é e o limite superior é .
Passo 7
Finalmente, podemos escrever a integral com a ordem de integração invertida. Agora, varia de a , e para cada , varia de até .