Verifique se as funções abaixo são analíticas:
(h)
iy
(h)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos verificar se ela é analítica. Para isso, vamos usar o conceito de funções analíticas da matéria de Cálculo Complexo. Funções analíticas são aquelas que são diferenciáveis em todos os pontos do seu domínio e satisfazem as Equações de Cauchy-Riemann. Vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e verificar essas equações.
Passo 2
Vamos começar escrevendo a função
em termos das partes real e imaginária. Seja
, onde:
Aqui,
é a parte real e
é a parte imaginária da função.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
.
Primeiro, para
:
Agora, para
:
Passo 4
Com as derivadas parciais calculadas, vamos verificar as Equações de Cauchy-Riemann, que são:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Vamos analisar as igualdades:
- Para a primeira equação:
Isso não é verdade para todos os valores de
e
.
- Para a segunda equação:
Isso só é verdadeiro se
, ou seja, quando pelo menos um entre
ou
é zero.
Passo 6
Como as Equações de Cauchy-Riemann não são satisfeitas para todos os pontos do domínio da função, podemos concluir que a função
não é analítica em geral.
Resposta
A função
não é analítica.