Verifique se as funções abaixo são analíticas:
(h) w = (x + iy 1/(x^2 + y^2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos verificar se ela é analítica. Para isso, vamos usar o conceito de funções analíticas da matéria de Cálculo Complexo. Funções analíticas são aquelas que são diferenciáveis em todos os pontos do seu domínio e satisfazem as Equações de Cauchy-Riemann. Vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e verificar essas equações.

Passo 2

Vamos começar escrevendo a função em termos das partes real e imaginária. Seja , onde:
Aqui, é a parte real e é a parte imaginária da função.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de e em relação a e .
Primeiro, para :
Agora, para :

Passo 4

Com as derivadas parciais calculadas, vamos verificar as Equações de Cauchy-Riemann, que são:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Vamos analisar as igualdades:
  1. Para a primeira equação:
Isso não é verdade para todos os valores de e .
  1. Para a segunda equação:
Isso só é verdadeiro se , ou seja, quando pelo menos um entre ou é zero.

Passo 6

Como as Equações de Cauchy-Riemann não são satisfeitas para todos os pontos do domínio da função, podemos concluir que a função não é analítica em geral.

Resposta

A função não é analítica.

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