Para f(x, y, z) = x^2 + y^2 - 4 x z, determine a direção em que a taxa de variação no ponto P = (3, 1, -2) seja máxima e calcule esta taxa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente encontrar a direção em que a taxa de variação da função no ponto é máxima, além de calcular essa taxa.
Isso está relacionado ao conceito de gradiente em cálculo multivariado. O gradiente nos dá a direção de máxima inclinação de uma função em um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar calcular o gradiente da função no ponto dado e depois encontrar sua magnitude.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função é um vetor que contém todas as derivadas parciais dessa função em relação a cada uma das variáveis. Ou seja:
Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial em relação a :
E finalmente, a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora que temos todas as derivadas parciais, podemos escrever o gradiente da função :

Passo 5

Vamos agora calcular o gradiente no ponto específico . Basta substituir , e nas expressões que encontramos:
Portanto, o gradiente no ponto é:

Passo 6

A direção de máxima taxa de variação é exatamente a direção do gradiente. Mas, para expressar isso como um vetor de direção, precisamos normalizar o gradiente, ou seja, transformá-lo em um vetor unitário (com magnitude igual a 1).
Primeiro, vamos calcular a magnitude do gradiente :

Passo 7

Agora, vamos normalizar o gradiente dividindo cada componente pela sua magnitude:
çãáçã

Passo 8

Finalmente, para encontrar a taxa máxima de variação, basta calcular a magnitude do gradiente, que já encontramos como .

Resposta

A direção em que a taxa de variação da função no ponto é máxima é dada pelo vetor unitário:
E a taxa máxima de variação nessa direção é .

Exercícios relacionados

i) encontre o vetor gradiente genérico; ii) calcule o gradiente no ponto P; iii) calcule a taxa de variação de f em P na direção de u. (Repare nas formas diferentes de se apresentar o vetor u.)
f(x, y) = e^x cos(y) ; P = (0, 0) ; u é o vetor na direção de theta = pi / 4.
Resolva o problema de valor inicial: y^(4) - y = delta(t), y(0) = y'(0) = y''(0) = y^(3)(0) = 0
Determine o polinômio de Taylor de ordem 3, no ponto c = -1 e c = 2 da função f(x) = e^(-x).
Calcule as integrais abaixo. Associe as técnicas de integração apropriadas para os cálculos de cada uma delas.
& integral x sen 2 x d x & integral0^infty e^-x cos x d x & integral ln x d x & integral raiz[3]x+1raiz[3]x-1 d x & integral d xx^2-5 x+6 & integral xraizx^2-4 d x & integral0^infty e^-x sen x d x & integral d xx^2-3 x+2 & integral x cos 2 x d x & integral raiz[4]x+1raiz[4]x-1 d x & integral xraizx^2+4 d x