Determine o polinômio de Taylor de ordem 3, no ponto c = -1 e c = 2 da função f(x) = e^(-x).

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar o polinômio de Taylor de ordem 3 para a função em dois pontos diferentes: e . Isso envolve entender o que é um polinômio de Taylor e como calculamos seus termos usando derivadas da função. Vamos precisar calcular as derivadas de até a terceira ordem e avaliá-las nos pontos e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor. É uma aproximação polinomial de uma função em torno de um ponto . A fórmula geral do polinômio de Taylor de ordem 3 é:
Ou seja, a gente precisa calcular , , e .

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas de :
Perceba que as derivadas alternam entre e .

Passo 4

Agora, vamos calcular os valores das derivadas nos pontos e .
Para :
Para :

Passo 5

Agora substituímos esses valores na fórmula do polinômio de Taylor.
Para :
Para :

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem 3 para é:
Para :
Para :

Exercícios relacionados

Para f(x, y, z) = x^2 + y^2 - 4 x z, determine a direção em que a taxa de variação no ponto P = (3, 1, -2) seja máxima e calcule esta taxa.
i) encontre o vetor gradiente genérico; ii) calcule o gradiente no ponto P; iii) calcule a taxa de variação de f em P na direção de u. (Repare nas formas diferentes de se apresentar o vetor u.)
f(x, y) = e^x cos(y) ; P = (0, 0) ; u é o vetor na direção de theta = pi / 4.
Calcule as integrais abaixo. Associe as técnicas de integração apropriadas para os cálculos de cada uma delas.
& integral x sen 2 x d x & integral0^infty e^-x cos x d x & integral ln x d x & integral raiz[3]x+1raiz[3]x-1 d x & integral d xx^2-5 x+6 & integral xraizx^2-4 d x & integral0^infty e^-x sen x d x & integral d xx^2-3 x+2 & integral x cos 2 x d x & integral raiz[4]x+1raiz[4]x-1 d x & integral xraizx^2+4 d x
Verifique que integral-T^T cos (n pi xT) d x=0=integral-T^T sen(n pi xT) d x, para todo n in Z, n neq 0.