Calcule as integrais abaixo:
(b) sobre o círculo: ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral de contorno no plano complexo: , onde o caminho de integração é o círculo . Aqui, estamos lidando com integrais de contorno, que fazem parte do Cálculo Complexo. Para resolver isso, vamos usar conceitos como funções analíticas e integral de Cauchy.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos:
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos dividir a integral em duas partes separadas:
Vamos calcular cada uma dessas integrais individualmente.

Passo 4

Primeira integral:
Aqui, a função é analítica (ou seja, diferenciável) em todo o plano complexo, especialmente dentro e sobre o círculo . Pelo Teorema de Cauchy, se uma função é analítica dentro de um caminho fechado, a integral dessa função sobre esse caminho é zero. Então:

Passo 5

Segunda integral:
A função tem um pólo simples em , que está dentro do nosso caminho de integração . Pelo Teorema do Resíduo (ou Integral de Cauchy), sabemos que:
Então,

Passo 6

Agora, juntando os resultados das duas integrais:

Resposta

O valor da integral é 4.

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(h)
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(a)
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(f)