Calcule as integrais abaixo:
(b)
sobre o círculo:
;
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral de contorno no plano complexo:
, onde o caminho de integração é o círculo
. Aqui, estamos lidando com integrais de contorno, que fazem parte do Cálculo Complexo. Para resolver isso, vamos usar conceitos como funções analíticas e integral de Cauchy.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos dividir a integral em duas partes separadas:
Vamos calcular cada uma dessas integrais individualmente.
Passo 4
Primeira integral:
Aqui, a função
é analítica (ou seja, diferenciável) em todo o plano complexo, especialmente dentro e sobre o círculo
. Pelo Teorema de Cauchy, se uma função é analítica dentro de um caminho fechado, a integral dessa função sobre esse caminho é zero. Então:
Passo 5
Segunda integral:
A função
tem um pólo simples em
, que está dentro do nosso caminho de integração
. Pelo Teorema do Resíduo (ou Integral de Cauchy), sabemos que:
Então,
Passo 6
Agora, juntando os resultados das duas integrais:
Resposta
O valor da integral é 4.
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(h)
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(d)
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.
(a)
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(f)
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