Calcule as integrais abaixo:
(b) 12 pi i oint z^2+4z d z sobre o círculo: |z|=1;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral de contorno no plano complexo: 12 pi i oint z^2+4z , dz, onde o caminho de integração é o círculo |z| = 1. Aqui, estamos lidando com integrais de contorno, que fazem parte do Cálculo Complexo. Para resolver isso, vamos usar conceitos como funções analíticas e integral de Cauchy.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos:
z^2 + 4z = z^2z + 4z = z + 4z
Então, a integral fica:
12 pi i oint (z + 4z) , dz

Passo 3

Agora, vamos dividir a integral em duas partes separadas:
12 pi i oint z , dz + 12 pi i oint 4z , dz
Vamos calcular cada uma dessas integrais individualmente.

Passo 4

Primeira integral: oint z , dz
Aqui, a função z é analítica (ou seja, diferenciável) em todo o plano complexo, especialmente dentro e sobre o círculo |z| = 1. Pelo Teorema de Cauchy, se uma função é analítica dentro de um caminho fechado, a integral dessa função sobre esse caminho é zero. Então:
oint z , dz = 0

Passo 5

Segunda integral: oint 4z , dz
A função 1z tem um pólo simples em z = 0, que está dentro do nosso caminho de integração |z| = 1. Pelo Teorema do Resíduo (ou Integral de Cauchy), sabemos que:
oint 1z , dz = 2 pi i
Então,
oint 4z , dz = 4 times 2 pi i = 8 pi i

Passo 6

Agora, juntando os resultados das duas integrais:
12 pi i times 0 + 12 pi i times 8 pi i = 0 + 4 = 4

Resposta

O valor da integral é 4.

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