Calcule o resíduo das seguintes funções para um contorno dado por um círculo de raio igual a .
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o resíduo da função dentro de um contorno que é um círculo com raio 1, ou seja, . Para isso, vamos usar conceitos de Análise Complexa, especificamente sobre resíduos de funções holomorfas. Precisamos entender o que é um resíduo e como calcular ele em torno de singularidades dentro de um contorno fechado.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um resíduo. O resíduo de uma função em um ponto é, basicamente, o coeficiente do termo na expansão em série de Laurent da função ao redor do ponto . Esse conceito é fundamental para calcular integrais complexas utilizando o Teorema dos Resíduos.

Passo 3

No nosso caso, a função tem uma singularidade em , que é um polo simples (grau 1). Como o círculo envolve esse ponto, precisamos calcular o resíduo de em .

Passo 4

Para encontrar o resíduo em um polo simples, usamos a fórmula:
Aqui, . Vamos aplicar a f��rmula:

Passo 5

Portanto, o resíduo da função em é igual a 1.

Resposta

O resíduo de no contorno é igual a 1.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais abaixo:
(b) sobre o círculo: ;
Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(h)
Calcule o resíduo das seguintes funções para um contorno dado por um círculo de raio igual a .
(f)
Calcule as seguintes integrais (justifique suas respostas):
(a) , para um contorno C que é um retângulo de vértices .