Calcule o resíduo das seguintes funções para um contorno dado por um círculo de raio igual a
.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o resíduo da função
dentro de um contorno que é um círculo com raio 1, ou seja,
. Para isso, vamos usar conceitos de Análise Complexa, especificamente sobre resíduos de funções holomorfas. Precisamos entender o que é um resíduo e como calcular ele em torno de singularidades dentro de um contorno fechado.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um resíduo. O resíduo de uma função em um ponto é, basicamente, o coeficiente do termo
na expansão em série de Laurent da função ao redor do ponto
. Esse conceito é fundamental para calcular integrais complexas utilizando o Teorema dos Resíduos.
Passo 3
No nosso caso, a função
tem uma singularidade em
, que é um polo simples (grau 1). Como o círculo
envolve esse ponto, precisamos calcular o resíduo de
em
.
Passo 4
Para encontrar o resíduo em um polo simples, usamos a fórmula:
Aqui,
. Vamos aplicar a f��rmula:
Passo 5
Portanto, o resíduo da função
em
é igual a 1.
Resposta
O resíduo de
no contorno
é igual a 1.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais abaixo:
(b) sobre o círculo:
;
(b)
Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(h)
(h)
Calcule o resíduo das seguintes funções para um contorno dado por um círculo de raio igual a
.
(f)
(f)
Calcule as seguintes integrais (justifique suas respostas):
(a) , para um contorno C que é um retângulo de vértices
.
(a)