Calcule o resíduo das seguintes funções para um contorno dado por um círculo de raio igual a
.
(f)
(f)
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para calcular o resíduo da função
dentro de um contorno dado por um círculo de raio igual a 1, ou seja,
.
Matéria envolvida: Estamos trabalhando com teoria dos resíduos, uma parte da análise complexa que nos ajuda a calcular integrais complexas usando os resíduos das funções dentro do contorno.
O que precisamos: Identificar os pontos onde a função
tem singularidades dentro do círculo
e calcular o resíduo nesses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função
tem singularidades (pontos onde a função não é analítica).
Sabemos que
. Portanto,
.
As singularidades ocorrem onde o denominador é zero, ou seja, quando
e quando
.
Sabemos que
quando
, onde
é um inteiro.
Dentro do contorno
, o único valor de
que satisfaz
é
, já que
é maior que 1. Então, a única singularidade dentro do círculo é
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o tipo de singularidade em
.
A função
pode ser escrita como
.
Sabemos que, próximo de
, temos a expansão de Taylor:
Portanto,
E,
Substituindo de volta na função:
Multiplicando os termos:
Observamos que o termo de
não aparece na expansão, o que indica que o resíduo em
pode ser zero.
Passo 4
Contudo, para confirmar, vamos usar a fórmula do resíduo para uma singularidade de ordem 2 (polo duplo).
A fórmula para o resíduo em um polo duplo
é:
No nosso caso,
, então:
Calculando a derivada:
Agora, calculamos o limite conforme
:
Sabemos que
e
.
Substituindo:
Resposta
O resíduo da função
dentro do contorno
é 0.
Exercícios relacionados
Calcule o resíduo das seguintes funções para um contorno dado por um círculo de raio igual a
.
(a)
(a)
Calcule as integrais abaixo:
(b) sobre o círculo:
;
(b)
Calcule as seguintes integrais (justifique suas respostas):
(a) , para um contorno C que é um retângulo de vértices
.
(a)
Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(b)
(b)