Calcule o resíduo das seguintes funções para um contorno dado por um círculo de raio igual a .
(f)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para calcular o resíduo da função dentro de um contorno dado por um círculo de raio igual a 1, ou seja, .
Matéria envolvida: Estamos trabalhando com teoria dos resíduos, uma parte da análise complexa que nos ajuda a calcular integrais complexas usando os resíduos das funções dentro do contorno.
O que precisamos: Identificar os pontos onde a função tem singularidades dentro do círculo e calcular o resíduo nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função tem singularidades (pontos onde a função não é analítica).
Sabemos que . Portanto, .
As singularidades ocorrem onde o denominador é zero, ou seja, quando e quando .
Sabemos que quando , onde é um inteiro.
Dentro do contorno , o único valor de que satisfaz é , já que é maior que 1. Então, a única singularidade dentro do círculo é .

Passo 3

Agora, vamos analisar o tipo de singularidade em .
A função pode ser escrita como .
Sabemos que, próximo de , temos a expansão de Taylor:
Portanto,
E,
Substituindo de volta na função:
Multiplicando os termos:
Observamos que o termo de não aparece na expansão, o que indica que o resíduo em pode ser zero.

Passo 4

Contudo, para confirmar, vamos usar a fórmula do resíduo para uma singularidade de ordem 2 (polo duplo).
A fórmula para o resíduo em um polo duplo é:
No nosso caso, , então:
Calculando a derivada:
Agora, calculamos o limite conforme :
Sabemos que e .
Substituindo:

Resposta

O resíduo da função dentro do contorno é 0.

Exercícios relacionados

Calcule o resíduo das seguintes funções para um contorno dado por um círculo de raio igual a .
(a)
Calcule as integrais abaixo:
(b) sobre o círculo: ;
Calcule as seguintes integrais (justifique suas respostas):
(a) , para um contorno C que é um retângulo de vértices .
Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(b)