Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral no caminho dado por . Isso envolve o estudo das integrais de contorno na análise complexa. Para resolver, vamos precisar entender sobre funções analíticas, resíduos e o Teorema dos Resíduos.

Passo 2

Primeiro, identificamos os polos da função . Os polos são os valores de que tornam o denominador zero, ou seja, as raízes da equação .

Passo 3

Resolvendo , temos:
Assim, os polos são:

Passo 4

Agora, vamos verificar quais desses polos estão dentro do caminho . Como para todos os polos (pois estão na circunferência unitária), temos:
Portanto, todos os polos estão dentro do caminho de integração.

Passo 5

Segundo o Teorema dos Resíduos, a integral de contorno é igual a vezes a soma dos resíduos das funções dentro do caminho. Ou seja:

Passo 6

Calculamos o resíduo em cada polo simples :
Então, a soma dos resíduos é:

Passo 7

Note que , então . Substituindo na soma:
Sabemos que a soma das raízes da equação é zero. Portanto:

Resposta

A integral no caminho é igual a .

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Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(a)
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(a) , onde é o quadrado de vértices ;
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(h)
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(b) sobre o círculo: ;