Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(d) oint 1z^4+1 d z, |z-1|=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral no caminho dado por . Isso envolve o estudo das integrais de contorno na análise complexa. Para resolver, vamos precisar entender sobre funções analíticas, resíduos e o Teorema dos Resíduos.

Passo 2

Primeiro, identificamos os polos da função . Os polos são os valores de que tornam o denominador zero, ou seja, as raízes da equação .

Passo 3

Resolvendo z^4 = -1 implies z = raiz[4]-1 = e^i(pi4 + kpi2) para k = 0, 1, 2, 3 , temos:
z0 = e^ipi4, z1 = e^i3pi4, z2 = e^i5pi4, z3 = e^i7pi4
Assim, os polos são:

Passo 4

Agora, vamos verificar quais desses polos estão dentro do caminho |zk - 1| <= |zk| + |1| = 1 + 1 = 2 . Como para todos os polos (pois estão na circunferência unitária), temos:
Portanto, todos os polos estão dentro do caminho de integração.

Passo 5

Segundo o Teorema dos Resíduos, a integral de contorno é igual a oint 1z^4+1 , dz = 2pi i sumk=0^3 Res(f, zk) vezes a soma dos resíduos das funções dentro do caminho. Ou seja:

Passo 6

Calculamos o resíduo em cada polo simples Res(f, zk) = limz to zk (z - zk) 1z^4+1 = 14zk^3 :
sumk=0^3 14zk^3
Então, a soma dos resíduos é:

Passo 7

Note que sumk=0^3 14zk^3 = sumk=0^3 -zk4 = -14 sumk=0^3 zk , então sumk=0^3 zk = 0 implies sumk=0^3 14zk^3 = 0 . Substituindo na soma:
Sabemos que a soma das raízes da equação é zero. Portanto:

Resposta

A integral no caminho é igual a .

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