Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
no caminho dado por
. Isso envolve o estudo das integrais de contorno na análise complexa. Para resolver, vamos precisar entender sobre funções analíticas, resíduos e o Teorema dos Resíduos.
Passo 2
Primeiro, identificamos os polos da função
. Os polos são os valores de
que tornam o denominador zero, ou seja, as raízes da equação
.
Passo 3
Resolvendo
, temos:
Assim, os polos são:
Passo 4
Agora, vamos verificar quais desses polos estão dentro do caminho
. Como
para todos os polos (pois
estão na circunferência unitária), temos:
Portanto, todos os polos estão dentro do caminho de integração.
Passo 5
Segundo o Teorema dos Resíduos, a integral de contorno é igual a
vezes a soma dos resíduos das funções dentro do caminho. Ou seja:
Passo 6
Calculamos o resíduo em cada polo simples
:
Então, a soma dos resíduos é:
Passo 7
Note que
, então
. Substituindo na soma:
Sabemos que a soma das raízes da equação
é zero. Portanto:
Resposta
A integral
no caminho
é igual a
.
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(a)
(a)
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(a) , onde
é o quadrado de vértices
;
(a)
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(h)
(h)
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(b) sobre o círculo:
;
(b)