Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(h)
(h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
no caminho
. Esse exercício envolve o cálculo de integrais de funções complexas usando o Teorema dos Resíduos, que é uma ferramenta poderosa na análise complexa. Para resolver, vamos precisar identificar os polos da função
dentro do círculo
e calcular seus resíduos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
. Então,
. Os polos dessa função ocorrem onde o denominador é zero, ou seja, onde
.
Passo 3
Saber onde
nos dá os pontos
, onde
é um número inteiro. Esses são os lugares onde a função
tem polos de segunda ordem (duplas).
Passo 4
Agora, vamos determinar quais desses polos estão dentro do círculo
. Calculando para diferentes valores de
, encontramos que existem vários polos dentro desse raio. Porém, a chave aqui é que cada um desses polos duplos terá um resíduo que, no final das contas, vai contribuir para a integral.
Passo 5
Para calcular a integral, usamos o Teorema dos Resíduos, que diz que
(soma dos resíduos dos polos dentro do caminho). No caso de polos de segunda ordem, o resíduo pode ser calculado de uma forma específica.
Passo 6
No entanto, ao calcular os resíduos dos polos duplos de
, percebemos que, devido à simetria e às propriedades da função, esses resíduos acabam se anulando quando somados. Ou seja, a soma total dos resíduos dentro de
é zero.
Resposta
A integral
no caminho
é igual a 0.
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(d)
(d)
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(a)
(a)
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(b) sobre o círculo:
;
(b)
Calcule o resíduo das seguintes funções para um contorno dado por um círculo de raio igual a
.
(a)
(a)