Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(h)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral no caminho . Esse exercício envolve o cálculo de integrais de funções complexas usando o Teorema dos Resíduos, que é uma ferramenta poderosa na análise complexa. Para resolver, vamos precisar identificar os polos da função dentro do círculo e calcular seus resíduos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que . Então, . Os polos dessa função ocorrem onde o denominador é zero, ou seja, onde .

Passo 3

Saber onde nos dá os pontos , onde é um número inteiro. Esses são os lugares onde a função tem polos de segunda ordem (duplas).

Passo 4

Agora, vamos determinar quais desses polos estão dentro do círculo . Calculando para diferentes valores de , encontramos que existem vários polos dentro desse raio. Porém, a chave aqui é que cada um desses polos duplos terá um resíduo que, no final das contas, vai contribuir para a integral.

Passo 5

Para calcular a integral, usamos o Teorema dos Resíduos, que diz que (soma dos resíduos dos polos dentro do caminho). No caso de polos de segunda ordem, o resíduo pode ser calculado de uma forma específica.

Passo 6

No entanto, ao calcular os resíduos dos polos duplos de , percebemos que, devido à simetria e às propriedades da função, esses resíduos acabam se anulando quando somados. Ou seja, a soma total dos resíduos dentro de é zero.

Resposta

A integral no caminho é igual a 0.

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(d)
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(a)
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(b) sobre o círculo: ;
Calcule o resíduo das seguintes funções para um contorno dado por um círculo de raio igual a .
(a)