Calcule as integrais abaixo.
c) integral raiz1-4 r^2 d r

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve cálculo integral, mais especificamente, integrais que contêm expressões quadráticas dentro de uma raiz quadrada. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição trigonométrica, que ajuda a simplificar integrais que têm a forma .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz. Observamos que se parece com . Isso sugere que podemos usar a substituição .

Passo 3

Agora, substituímos du = 2 , dr Rightarrow dr = du2 . Para encontrar integral raiz1 - u^2 cdot du2 = 12 integral raiz1 - u^2 , du em termos de , derivamos ambos os lados da substituição:
Agora, substituímos por na integral original:

Passo 4

A integral integral raiz1 - u^2 , du = u2 raiz1 - u^2 + 12 arcsin(u) + C é uma forma padrão que conhecemos da integral de uma função semicircular. A integral dessa forma é:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, voltamos à nossa substituição original 12 ( u2 raiz1 - u^2 + 12 arcsin(u) ) + C . Substituímos 12 cdot u2 raiz1 - u^2 + 12 cdot 12 arcsin(u) + C = u4 raiz1 - u^2 + 14 arcsin(u) + C de volta na expressão integrada:
Simplificando:

Passo 6

Finalmente, substituímos 2r4 raiz1 - (2r)^2 + 14 arcsin(2r) + C = r2 raiz1 - 4r^2 + 14 arcsin(2r) + C de volta na expressão:
r2 raiz1 - 4r^2 + 14 arcsin(2r) + C
Podemos simplificar ainda mais:

Resposta

A integral r2 raiz1 - 4r^2 + 14 arcsin(2r) + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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