Calcule as integrais abaixo.
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício envolve cálculo integral, mais especificamente, integrais que contêm expressões quadráticas dentro de uma raiz quadrada. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição trigonométrica, que ajuda a simplificar integrais que têm a forma
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz. Observamos que
se parece com
. Isso sugere que podemos usar a substituição
.
Passo 3
Agora, substituímos
. Para encontrar
em termos de
, derivamos ambos os lados da substituição:
Agora, substituímos
por
na integral original:
Passo 4
A integral
é uma forma padrão que conhecemos da integral de uma função semicircular. A integral dessa forma é:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, voltamos à nossa substituição original
. Substituímos
de volta na expressão integrada:
Simplificando:
Passo 6
Finalmente, substituímos
de volta na expressão:
Podemos simplificar ainda mais:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.