Calcule as integrais abaixo.
(b) integral(1-2 x^2 sec (5 x^3)) d x.

Passo 1

Vamos calcular a integral . Nesse exercício, estamos trabalhando com integração, especificamente combinando funções polinomiais e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar aplicar a integração por partes e a substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a integral em duas partes para facilitar a resolução:
integral(1 - 2x^2 sec(5x^3)) dx = integral 1 , dx - 2 integral x^2 sec(5x^3) dx
A primeira parte, , é simples. A segunda parte vai requerer uma substituição.

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral:
integral 1 , dx = x + C1
Aqui, é a constante de integração, que vamos considerar no final da solução.

Passo 4

Agora, vamos focar na segunda integral: u = 5x^3 . Para resolver isso, usamos a substituição.
Definimos:
du = 15x^2 dx Rightarrow x^2 dx = du15
Então, derivando ambos os lados em relação a , temos:

Passo 5

Substituindo na integral:
2 integral x^2 sec(5x^3) dx = 2 integral sec(u) cdot du15 = 215 integral sec(u) du
A integral de integral sec(u) du = ln|sec(u) + tan(u)| + C2 é conhecida e é:
onde é outra constante de integração.

Passo 6

Então, substituindo de volta:
215 integral sec(u) du = 215 ln|sec(5x^3) + tan(5x^3)| + C2

Passo 7

Juntando as duas partes que resolvemos:
integral(1 - 2x^2 sec(5x^3)) dx = x - 215 ln|sec(5x^3) + tan(5x^3)| + C
Aqui, é a constante geral de integração.

Resposta

A integral é igual a:
x - 215 ln|sec(5x^3) + tan(5x^3)| + C

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