Obtenha uma equação vetorial da reta tangente ao gráfico de no ponto da curva.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar a equação vetorial da reta tangente ao gráfico de uma função vetorial no ponto específico . A função dada é . Então, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas, para achar a reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar para qual valor de a função passa pelo ponto . Ou seja, precisamos resolver as equações:
Da segunda equação, vemos que:
Agora, vamos verificar se esse valor de satisfaz a primeira equação:
Está certinho! Então, é o parâmetro que nos leva ao ponto .

Passo 3

Agora, para encontrar a reta tangente, precisamos da derivada da função , que nos dá o vetor tangente à curva em qualquer ponto . Vamos calcular :

Passo 4

Vamos avaliar essa derivada no valor :
Sabemos que , então:
Esse é o vetor direção da reta tangente no ponto .

Passo 5

Agora, podemos escrever a equação vetorial da reta tangente usando o ponto e o vetor direção . A equação fica assim:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação vetorial da reta tangente é:

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Obtenha equações paramétricas da reta tangente ao gráfico de no ponto em que .
Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
a)
Calcule as integrais abaixo.
(b) .
Seja . Determine © .