Obtenha uma equação vetorial da reta tangente ao gráfico de r(t) no ponto P0 da curva. r(t) = 4 cos(t) i - 3 t j ; P0(2, -pi)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar a equação vetorial da reta tangente ao gráfico de uma função vetorial r(t) no ponto específico . A função dada é . Então, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas, para achar a reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar para qual valor de t a função r(t) passa pelo ponto . Ou seja, precisamos resolver as equações:
Da segunda equação, vemos que:
Agora, vamos verificar se esse valor de t satisfaz a primeira equação:
Está certinho! Então, é o parâmetro que nos leva ao ponto P0.

Passo 3

Agora, para encontrar a reta tangente, precisamos da derivada da função r(t), que nos dá o vetor tangente à curva em qualquer ponto t. Vamos calcular :

Passo 4

Vamos avaliar essa derivada no valor :
Sabemos que , então:
Esse é o vetor direção da reta tangente no ponto P0.

Passo 5

Agora, podemos escrever a equação vetorial da reta tangente usando o ponto P0 e o vetor direção . A equação fica assim:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação vetorial da reta tangente é:

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