Seja r(t)=cos t i+sen t j+k. Determine © lim t 0(r(t) cdot r^prime(t)).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função vetorial definida por r(t) = cos t i + sen t j + k. O que precisamos fazer aqui é encontrar o limite quando t se aproxima de 0 da expressão r(t) cdot r^prime(t).
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos:
  • Derivada de uma função vetorial: Isso nos dá a taxa de variação da função em relação a t.
  • Produto escalar (ou ponto) entre dois vetores: Isso nos dá um número que representa o quanto dois vetores estão alinhados.
  • Limite: Isso nos ajuda a entender o comportamento da função à medida que t se aproxima de um valor específico, nesse caso, 0.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial r(t). A derivada de uma função vetorial é obtida derivando cada componente em relação a t.
Temos:
r(t) = cos t i + sen t j + k
Derivando cada componente:
  • A derivada de cos t em relação a t é -sen t.
  • A derivada de sen t em relaç��o a t é cos t.
  • A derivada de uma constante como k é 0.
Então, a derivada da função vetorial é:
r^prime(t) = -sen t i + cos t j + 0 k
Ou simplesmente:
r^prime(t) = -sen t i + cos t j

Passo 3

Agora que temos r(t) e r^prime(t), vamos calcular o produto escalar entre eles. O produto escalar de dois vetores a = a1 i + a2 j + a3 k e b = b1 i + b2 j + b3 k é dado por:
a cdot b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
Aplicando isso aos nossos vetores:
r(t) cdot r^prime(t) = (cos t)(-sen t) + (sen t)(cos t) + (k)(0)
Simplificando:
r(t) cdot r^prime(t) = -cos t sen t + cos t sen t + 0 = 0

Passo 4

Agora que sabemos que o produto escalar r(t) cdot r^prime(t) é igual a 0 para qualquer valor de t, podemos calcular o limite quando t se aproxima de 0:
limt 0 (r(t) cdot r^prime(t)) = limt 0 0 = 0

Resposta

O limite limt 0 (r(t) cdot r^prime(t)) é igual a 0.

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