Seja . Determine © .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função vetorial definida por . O que precisamos fazer aqui é encontrar o limite quando se aproxima de 0 da expressão .
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos:
  • Derivada de uma função vetorial: Isso nos dá a taxa de variação da função em relação a .
  • Produto escalar (ou ponto) entre dois vetores: Isso nos dá um número que representa o quanto dois vetores estão alinhados.
  • Limite: Isso nos ajuda a entender o comportamento da função à medida que se aproxima de um valor específico, nesse caso, 0.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial . A derivada de uma função vetorial é obtida derivando cada componente em relação a .
Temos:
Derivando cada componente:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relaç��o a é .
  • A derivada de uma constante como é 0.
Então, a derivada da função vetorial é:
Ou simplesmente:

Passo 3

Agora que temos e , vamos calcular o produto escalar entre eles. O produto escalar de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Simplificando:

Passo 4

Agora que sabemos que o produto escalar é igual a 0 para qualquer valor de , podemos calcular o limite quando se aproxima de 0:

Resposta

O limite é igual a 0.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais abaixo.
(b) .
Obtenha uma equação vetorial da reta tangente ao gráfico de no ponto da curva.
Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
c)
Calcule as integrais abaixo.
(d) .