Seja
. Determine ©
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função vetorial definida por
. O que precisamos fazer aqui é encontrar o limite quando
se aproxima de 0 da expressão
.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos:
- Derivada de uma função vetorial: Isso nos dá a taxa de variação da função em relação a
. - Produto escalar (ou ponto) entre dois vetores: Isso nos dá um número que representa o quanto dois vetores estão alinhados.
- Limite: Isso nos ajuda a entender o comportamento da função à medida que
se aproxima de um valor específico, nesse caso, 0.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial
. A derivada de uma função vetorial é obtida derivando cada componente em relação a
.
Temos:
Derivando cada componente:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relaç��o a é . - A derivada de uma constante como
é 0.
Então, a derivada da função vetorial é:
Ou simplesmente:
Passo 3
Agora que temos
e
, vamos calcular o produto escalar entre eles. O produto escalar de dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Simplificando:
Passo 4
Agora que sabemos que o produto escalar
é igual a 0 para qualquer valor de
, podemos calcular o limite quando
se aproxima de 0:
Resposta
O limite
é igual a 0.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais abaixo.
(b) .
(b)
Obtenha uma equação vetorial da reta tangente ao gráfico de
no ponto
da curva.
Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
c)
c)
Calcule as integrais abaixo.
(d) .
(d)