Obtenha equações paramétricas da reta tangente ao gráfico de r(t) no ponto em que t = t0. r(t) = e^(2t) i - 2 cos(3t) ; t0 = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as equações paramétricas da reta tangente ao gráfico de um vetor posição r(t) no ponto onde . Isso se encaixa no conteúdo de cálculo vetorial, mais especificamente no estudo de curvas e suas tangentes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar o ponto no tempo e a direção da reta tangente nesse ponto, que é dada pela derivada de r(t) em .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto no tempo . Isso significa substituir t por 0 na função r(t):
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a direção da reta tangente nesse ponto. Para isso, calculamos a derivada de r(t) em relação a t, que nos dá a velocidade ou o vetor tangente à curva:

Passo 4

Agora, avaliamos a derivada no ponto para encontrar a direção específica da reta tangente naquele instante:
Então, o vetor direção da reta tangente é , ou seja, na direção do eixo x.

Passo 5

Com o ponto e a direção , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente. As equações paramétricas de uma reta são dadas por:
onde é o ponto de tangência e (a, b) é o vetor direção. No nosso caso:

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente são:

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