Obtenha equações paramétricas da reta tangente ao gráfico de
no ponto em que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as equações paramétricas da reta tangente ao gráfico de um vetor posição
no ponto onde
. Isso se encaixa no conteúdo de cálculo vetorial, mais especificamente no estudo de curvas e suas tangentes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar o ponto no tempo
e a direção da reta tangente nesse ponto, que é dada pela derivada de
em
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto no tempo
. Isso significa substituir
por
na função
:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a direção da reta tangente nesse ponto. Para isso, calculamos a derivada de
em relação a
, que nos dá a velocidade ou o vetor tangente à curva:
Passo 4
Agora, avaliamos a derivada no ponto
para encontrar a direção específica da reta tangente naquele instante:
Então, o vetor direção da reta tangente é
, ou seja, na direção do eixo
.
Passo 5
Com o ponto
e a direção
, podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente. As equações paramétricas de uma reta são dadas por:
onde
é o ponto de tangência e
é o vetor direção. No nosso caso:
Resposta
As equações paramétricas da reta tangente são:
Exercícios relacionados
Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
a)
a)
Determine se
é contínua em
. Explique seu raciocínio. (a)
Obtenha uma equação vetorial da reta tangente ao gráfico de
no ponto
da curva.
Calcule as integrais abaixo.
(b) .
(b)