Obtenha equações paramétricas da reta tangente ao gráfico de no ponto em que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as equações paramétricas da reta tangente ao gráfico de um vetor posição no ponto onde . Isso se encaixa no conteúdo de cálculo vetorial, mais especificamente no estudo de curvas e suas tangentes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar o ponto no tempo e a direção da reta tangente nesse ponto, que é dada pela derivada de em .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto no tempo . Isso significa substituir por na função :
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a direção da reta tangente nesse ponto. Para isso, calculamos a derivada de em relação a , que nos dá a velocidade ou o vetor tangente à curva:

Passo 4

Agora, avaliamos a derivada no ponto para encontrar a direção específica da reta tangente naquele instante:
Então, o vetor direção da reta tangente é , ou seja, na direção do eixo .

Passo 5

Com o ponto e a direção , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente. As equações paramétricas de uma reta são dadas por:
onde é o ponto de tangência e é o vetor direção. No nosso caso:

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente são:

Exercícios relacionados

Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
a)
Determine se é contínua em . Explique seu raciocínio. (a)
Obtenha uma equação vetorial da reta tangente ao gráfico de no ponto da curva.
Calcule as integrais abaixo.
(b) .