Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular:
Estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar passo a passo, começando pela variável mais interna e avançando para as externas.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar em relação a . Olha só, a parte interna da integral é:
Aqui, é uma constante em relação a , então a integral fica:
Então, após integrar em , a expressão fica .
Passo 3
Agora, vamos integrar o resultado em relação a integral1+y^2 y z cdot y , dz . A próxima parte é:
y integral1+y^2 y z , dz = y cdot ( z^22 ) |1+y^2 y = y cdot ( (2 y)^22 - (1+y)^22 )
Aqui, y cdot ( 4 y^22 - 1 + 2 y + y^22 ) = y cdot ( 2 y^2 - 1 + 2 y + y^22 ) é constante em relação a = y cdot ( 2 y^2 - 12 - y - y^22 ) = y cdot ( 4 y^22 - y^22 - y - 12 ) , então temos:
= y cdot ( 3 y^22 - y - 12 ) = 3 y^32 - y^2 - y2
Simplificando:
Continuando:
Passo 4
Agora, vamos integrar esse resultado em relação a integral0^1 ( 3 y^32 - y^2 - y2 ) dy . A última parte é:
3 y^48 - y^33 - y^24 |0^1
Vamos integrar termo a termo:
3 (1)^48 - (1)^33 - (1)^24 = 38 - 13 - 14
= 924 - 824 - 624 = 9 - 8 - 624 = -524
Então, somando tudo:
Substituindo :
Para facilitar, vamos achar o denominador comum, que é 24:
Substituindo , todo termo é zero, então o resultado final é .