Calcule as integrais abaixo: b) integral0^1 integral1+y^2 y integralz^y+z z d x d z d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular:
integral0^1 integral1+y^2 y integralz^y+z z , dx , dz , dy
Estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar passo a passo, começando pela variável mais interna e avançando para as externas.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a integralz^y+z z , dx . Olha só, a parte interna da integral é:
z integralz^y+z dx = z cdot (x) |z^y+z = z cdot ( (y+z) - z ) = z cdot y
Aqui, é uma constante em relação a , então a integral fica:
Então, após integrar em , a expressão fica .

Passo 3

Agora, vamos integrar o resultado em relação a integral1+y^2 y z cdot y , dz . A próxima parte é:
y integral1+y^2 y z , dz = y cdot ( z^22 ) |1+y^2 y = y cdot ( (2 y)^22 - (1+y)^22 )
Aqui, y cdot ( 4 y^22 - 1 + 2 y + y^22 ) = y cdot ( 2 y^2 - 1 + 2 y + y^22 ) é constante em relação a = y cdot ( 2 y^2 - 12 - y - y^22 ) = y cdot ( 4 y^22 - y^22 - y - 12 ) , então temos:
= y cdot ( 3 y^22 - y - 12 ) = 3 y^32 - y^2 - y2
Simplificando:
Continuando:

Passo 4

Agora, vamos integrar esse resultado em relação a integral0^1 ( 3 y^32 - y^2 - y2 ) dy . A última parte é:
3 y^48 - y^33 - y^24 |0^1
Vamos integrar termo a termo:
  1. 3 (1)^48 - (1)^33 - (1)^24 = 38 - 13 - 14
  2. = 924 - 824 - 624 = 9 - 8 - 624 = -524
Então, somando tudo:
Substituindo :
Para facilitar, vamos achar o denominador comum, que é 24:
Substituindo , todo termo é zero, então o resultado final é .

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados