Seja a transformação dada por: c) Determine , onde .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma transformação que converte coordenadas esféricas para coordenadas cartesianas . A gente precisa determinar a imagem , onde é um conjunto específico definido por . Para resolver isso, vamos usar as fórmulas de conversão de coordenadas esféricas para cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as fórmulas de conversão de coordenadas esféricas para cartesianas. Elas são dadas por:
Essas fórmulas nos permitem transformar qualquer ponto no espaço das coordenadas esféricas para as coordenadas cartesianas.

Passo 3

Agora, vamos entender o que é o conjunto . Isso significa que:
  • varia de a , que é o raio.
  • varia de a , que é o ângulo zenital.
  • varia de a , que é o ângulo azimutal.
Então, representa uma parte do espaço esférico que está no primeiro octante (onde são positivos) com raios entre e .

Passo 4

Para encontrar , precisamos aplicar a transformação a todos os pontos de . Isso significa que vamos usar as fórmulas de conversão para cada ponto dentro desses intervalos.

Passo 5

Vamos analisar os limites das variáveis após a transformação:
  • Como varia de a , o raio no espaço cartesiano também vai variar entre e .
  • varia de a , o que significa que varia de a , e varia de a .
  • varia de a , então e também variam de a e de a , respectivamente.

Passo 6

Com essas variações, podemos descrever a região em coordenadas cartesianas:
  • varia de a (já que , , e ).
  • também varia de a .
  • varia de a .
Isso descreve um octante do espaço tridimensional com entre e , e com raios entre e .

Passo 7

Portanto, a imagem é o conjunto de todos os pontos no primeiro octante do espaço cartesiano onde as coordenadas estão entre e e a distância do ponto à origem está entre e .

Resposta

A imagem é o conjunto de pontos no primeiro octante de onde e a distância do ponto à origem está entre e .

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Encontre as derivadas das funções:
a) ;