Seja
a transformação dada por: c) Determine
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma transformação
que converte coordenadas esféricas
para coordenadas cartesianas
. A gente precisa determinar a imagem
, onde
é um conjunto específico definido por
. Para resolver isso, vamos usar as fórmulas de conversão de coordenadas esféricas para cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as fórmulas de conversão de coordenadas esféricas para cartesianas. Elas são dadas por:
Essas fórmulas nos permitem transformar qualquer ponto no espaço das coordenadas esféricas para as coordenadas cartesianas.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é o conjunto
. Isso significa que:
-
varia de a , que é o raio. -
varia de a , que é o ângulo zenital. -
varia de a , que é o ângulo azimutal.
Então,
representa uma parte do espaço esférico que está no primeiro octante (onde
são positivos) com raios entre
e
.
Passo 4
Para encontrar
, precisamos aplicar a transformação
a todos os pontos de
. Isso significa que vamos usar as fórmulas de conversão para cada ponto dentro desses intervalos.
Passo 5
Vamos analisar os limites das variáveis após a transformação:
- Como
varia de a , o raio no espaço cartesiano também vai variar entre e . -
varia de a , o que significa que varia de a , e varia de a . -
varia de a , então e também variam de a e de a , respectivamente.
Passo 6
Com essas variações, podemos descrever a região
em coordenadas cartesianas:
-
varia de a (já que , , e ). -
também varia de a . -
varia de a .
Isso descreve um octante do espaço tridimensional com
entre
e
, e com raios entre
e
.
Passo 7
Portanto, a imagem
é o conjunto de todos os pontos
no primeiro octante do espaço cartesiano onde as coordenadas estão entre
e
e a distância do ponto à origem está entre
e
.
Resposta
A imagem
é o conjunto de pontos
no primeiro octante de
onde
e a distância do ponto à origem está entre
e
.
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Calcule
Encontre as derivadas das funções:
a) ;
a)