Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integrais triplas. A gente precisa calcular a integral:
Isso está dentro da matéria de cálculo multivariado, especificamente integrando funções em três dimensões. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de integração iterada e possivelmente coordenadas polares para simplificar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar em relação a
. Olha só, a função que estamos integrando é
. Quando integramos em
, tratamos
e
como constantes. A integral de
em relação a
é
, então:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa expressão. Multiplicando
pelos termos dentro dos parênteses:
Então, a expressão fica:
Agora, nossa integral reduzida fica:
Passo 4
Vamos dividir essa integral em duas partes para facilitar:
A primeira parte é mais simples, vamos calcular primeiro.
Passo 5
Calculando a primeira integral:
A integral interna em
de
a
é o comprimento de um segmento horizontal em um círculo de raio 1. Isso dá:
Então, a integral fica:
Sabemos que
é a área de um semicírculo de raio 1, que é
. Então:
Passo 6
Agora, vamos calcular a segunda integral:
Para simplificar, vamos mudar para coordenadas polares, já que
. Em coordenadas polares,
. Os limites para
vão de 0 a 1 e para
de 0 a
. Então, a integral se torna:
Primeiro, integramos em
:
Fazendo a substituição
,
, então
. A integral fica:
Agora, integramos em
:
Resposta
Juntando as duas partes, temos:
Portanto, o valor da integral é:
Exercícios relacionados
Seja
a transformação dada por: c) Determine
, onde
.
Calcule as integrais abaixo:
Encontre as derivadas das funções:
a) ;
a)
Calcule as seguintes integrais: