Calcule integral-1^1 integral-raiz1-y^2^raiz1-y^2 integral0^4-x^2-y^2 e^x^2+y^2+z d z d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integrais triplas. A gente precisa calcular a integral:
integral-1^1 integral-raiz1-y^2^raiz1-y^2 integral0^4-x^2-y^2 e^x^2+y^2+z , dz , dx , dy
Isso está dentro da matéria de cálculo multivariado, especificamente integrando funções em três dimensões. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de integração iterada e possivelmente coordenadas polares para simplificar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a integral0^4 - x^2 - y^2 e^x^2 + y^2 + z , dz = e^x^2 + y^2 [ e^z ]0^4 - x^2 - y^2 = e^x^2 + y^2 ( e^4 - x^2 - y^2 - 1 ) . Olha só, a função que estamos integrando é . Quando integramos em , tratamos e como constantes. A integral de em relação a é , então:

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão. Multiplicando e^x^2 + y^2 cdot e^4 - x^2 - y^2 = e^4 pelos termos dentro dos parênteses:
e^4 - e^x^2 + y^2
Então, a expressão fica:
integral-1^1 integral-raiz1 - y^2^raiz1 - y^2 ( e^4 - e^x^2 + y^2 ) , dx , dy
Agora, nossa integral reduzida fica:

Passo 4

Vamos dividir essa integral em duas partes para facilitar:
e^4 integral-1^1 integral-raiz1 - y^2^raiz1 - y^2 dx , dy - integral-1^1 integral-raiz1 - y^2^raiz1 - y^2 e^x^2 + y^2 , dx , dy
A primeira parte é mais simples, vamos calcular primeiro.

Passo 5

Calculando a primeira integral:
e^4 integral-1^1 integral-raiz1 - y^2^raiz1 - y^2 dx , dy
A integral interna em integral-raiz1 - y^2^raiz1 - y^2 dx = 2raiz1 - y^2 de e^4 integral-1^1 2raiz1 - y^2 , dy = 2e^4 integral-1^1 raiz1 - y^2 , dy a 2e^4 cdot pi2 = e^4 pi é o comprimento de um segmento horizontal em um círculo de raio 1. Isso dá:
Então, a integral fica:
Sabemos que é a área de um semicírculo de raio 1, que é . Então:

Passo 6

Agora, vamos calcular a segunda integral:
integral-1^1 integral-raiz1 - y^2^raiz1 - y^2 e^x^2 + y^2 , dx , dy
Para simplificar, vamos mudar para coordenadas polares, já que integral0^2pi integral0^1 e^r^2 cdot r , dr , dtheta . Em coordenadas polares, integral0^1 e^r^2 cdot r , dr . Os limites para 12 integral0^1 e^u , du = 12 ( e^1 - e^0 ) = 12 (e - 1) vão de 0 a 1 e para integral0^2pi 12 (e - 1) , dtheta = 12 (e - 1) cdot 2pi = pi (e - 1) de 0 a . Então, a integral se torna:
Primeiro, integramos em :
Fazendo a substituição , , então . A integral fica:
Agora, integramos em :

Resposta

Juntando as duas partes, temos:
e^4 pi - pi (e - 1) = pi (e^4 - e + 1)
Portanto, o valor da integral é:
pi (e^4 - e + 1)

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