Calcule

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integrais triplas. A gente precisa calcular a integral:
Isso está dentro da matéria de cálculo multivariado, especificamente integrando funções em três dimensões. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de integração iterada e possivelmente coordenadas polares para simplificar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a . Olha só, a função que estamos integrando é . Quando integramos em , tratamos e como constantes. A integral de em relação a é , então:

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão. Multiplicando pelos termos dentro dos parênteses:
Então, a expressão fica:
Agora, nossa integral reduzida fica:

Passo 4

Vamos dividir essa integral em duas partes para facilitar:
A primeira parte é mais simples, vamos calcular primeiro.

Passo 5

Calculando a primeira integral:
A integral interna em de a é o comprimento de um segmento horizontal em um círculo de raio 1. Isso dá:
Então, a integral fica:
Sabemos que é a área de um semicírculo de raio 1, que é . Então:

Passo 6

Agora, vamos calcular a segunda integral:
Para simplificar, vamos mudar para coordenadas polares, já que . Em coordenadas polares, . Os limites para vão de 0 a 1 e para de 0 a . Então, a integral se torna:
Primeiro, integramos em :
Fazendo a substituição , , então . A integral fica:
Agora, integramos em :

Resposta

Juntando as duas partes, temos:
Portanto, o valor da integral é:

Exercícios relacionados

Seja a transformação dada por: c) Determine , onde .
Calcule as integrais abaixo:
Encontre as derivadas das funções:
a) ;
Calcule as seguintes integrais: