Calcule as integrais abaixo:
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sobre o círculo:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício que pede para calcular a integral sobre o círculo
. Esse tipo de cálculo está dentro da matéria de Análise Complexa, mais especificamente envolvendo integrais de contorno. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre funções analíticas e o Teorema de Cauchy, que nos ajuda a avaliar integrais complexas de forma eficiente.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na função que estamos integrando: . A função (seno de z) é uma função inteira, ou seja, é analítica em todo o plano complexo. Agora, dividindo por
, temos . Aqui, precisamos verificar se essa função tem algum ponto onde ela não é analítica dentro do nosso caminho de integração, que é o círculo
.
Passo 3
Observamos que a única possível “problema” na função ocorre quando
, pois teríamos uma divisão por zero. No entanto, vamos analisar isso mais de perto. Expandindo em série de Taylor, temos:
Dividindo por
, fica:
Viu só? Quando dividimos por
, o termo problemática desaparece e a função resultante é, na verdade, analítica em todo o plano complexo, inclusive em
.
Passo 4
Como é analítica em todo o interior do círculo
, podemos aplicar o Teorema de Cauchy, que nos diz que a integral de uma função analítica sobre um caminho fechado é zero. Em outras palavras,
Passo 5
Agora, voltando ao que queremos calcular:
Resposta
O valor da integral é
.