Calcule as integrais abaixo:
© 12 pi i oint sen zz d z sobre o círculo: |z|=4;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício que pede para calcular a integral sobre o círculo . Esse tipo de cálculo está dentro da matéria de Análise Complexa, mais especificamente envolvendo integrais de contorno. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre funções analíticas e o Teorema de Cauchy, que nos ajuda a avaliar integrais complexas de forma eficiente.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função que estamos integrando: . A função (seno de z) é uma função inteira, ou seja, é analítica em todo o plano complexo. Agora, dividindo por , temos . Aqui, precisamos verificar se essa função tem algum ponto onde ela não é analítica dentro do nosso caminho de integração, que é o círculo .

Passo 3

Observamos que a única possível “problema” na função ocorre quando sen z = z - z^33! + z^55! - ldots , pois teríamos uma divisão por zero. No entanto, vamos analisar isso mais de perto. Expandindo em série de Taylor, temos:
Dividindo por sen zz = 1 - z^23! + z^45! - ldots , fica:
Viu só? Quando dividimos por , o termo problemática desaparece e a função resultante é, na verdade, analítica em todo o plano complexo, inclusive em .

Passo 4

Como é analítica em todo o interior do círculo oint sen zz , dz = 0 , podemos aplicar o Teorema de Cauchy, que nos diz que a integral de uma função analítica sobre um caminho fechado é zero. Em outras palavras,

Passo 5

Agora, voltando ao que queremos calcular:

Resposta

O valor da integral é .

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