Calcule o resíduo das seguintes funções para um contorno dado por um círculo de raio igual a 1 ( |z| = 1 ).
(b) f(z) = 1 / z^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o resíduo da função em um contorno que é um círculo de raio 1, ou seja, . Para isso, vamos usar conceitos de análise complexa, especificamente sobre resíduos e pólos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um resíduo. Em análise complexa, o resíduo de uma função num ponto singular (como um pólo) é basicamente o coeficiente do termo na expansão em série de Laurent da função ao redor desse ponto . Esse resíduo é muito útil para calcular integrais ao longo de contornos fechados.

Passo 3

Agora, vamos identificar o tipo de singularidade da função . Observamos que quando , a função tende ao infinito, indicando que é um pólo. Mais especificamente, como a função tem elevado ao quadrado no denominador, esse é um pólo de ordem 2.

Passo 4

Para calcular o resíduo em um pólo de ordem , usamos a seguinte fórmula:
No nosso caso, e . Então, a fórmula fica:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro do limite:
Agora, derivamos em relação a :
Então, o limite fica:

Resposta

O resíduo de no contorno é igual a 0.

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