Calcule o resíduo das seguintes funções para um contorno dado por um círculo de raio igual a
.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o resíduo da função
em um contorno que é um círculo de raio 1, ou seja,
. Para isso, vamos usar conceitos de análise complexa, especificamente sobre resíduos e pólos de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um resíduo. Em análise complexa, o resíduo de uma função num ponto singular (como um pólo) é basicamente o coeficiente do termo
na expansão em série de Laurent da função ao redor desse ponto
. Esse resíduo é muito útil para calcular integrais ao longo de contornos fechados.
Passo 3
Agora, vamos identificar o tipo de singularidade da função
. Observamos que quando
, a função tende ao infinito, indicando que
é um pólo. Mais especificamente, como a função tem
elevado ao quadrado no denominador, esse é um pólo de ordem 2.
Passo 4
Para calcular o resíduo em um pólo de ordem
, usamos a seguinte fórmula:
No nosso caso,
e
. Então, a fórmula fica:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro do limite:
Agora, derivamos em relação a
:
Então, o limite fica:
Resposta
O resíduo de
no contorno
é igual a 0.