Determine os pontos singulares de cada uma das seguintes funções e diga por que a função é analítica em todos os pontos, exceto nesses pontos:
(a) (2z + 1) / (z * (z^2 + 1));

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos determinar os pontos singulares da função e explicar por que a função é analítica em todos os pontos, exceto nesses pontos. Para isso, vamos identificar onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores de que fazem o denominador ser igual a zero. Esses valores são os candidatos a pontos singulares.

Passo 3

Igualando o denominador a zero:
Isso nos dá duas partes para resolver:

Passo 4

Vamos resolver cada parte:
  1. Para :
    Simplesmente temos como uma solução.
  2. Para :
    onde é a unidade imaginária, .

Passo 5

Portanto, os pontos onde o denominador é zero são:
Esses são os pontos singulares da função.

Passo 6

A função é analítica em todos os outros pontos porque, nesses pontos, o denominador não é zero, e o numerador é um polinômio bem definido para todo no plano complexo. Isso significa que a função não tem outras singularidades além dos pontos identificados.

Resposta

Os pontos singulares da função são , e . A função é analítica em todos os demais pontos do plano complexo, pois não possui outras singularidades além desses pontos.

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