Determine os pontos singulares de cada uma das seguintes funções e diga por que a função é analítica em todos os pontos, exceto nesses pontos:
(a)
;
(a)
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos determinar os pontos singulares da função
e explicar por que a função é analítica em todos os pontos, exceto nesses pontos. Para isso, vamos identificar onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador é igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os valores de
que fazem o denominador
ser igual a zero. Esses valores são os candidatos a pontos singulares.
Passo 3
Igualando o denominador a zero:
Isso nos dá duas partes para resolver:
Passo 4
Vamos resolver cada parte:
-
Para
: Simplesmente temoscomo uma solução. -
Para
: ondeé a unidade imaginária, .
Passo 5
Portanto, os pontos onde o denominador é zero são:
Esses são os pontos singulares da função.
Passo 6
A função é analítica em todos os outros pontos porque, nesses pontos, o denominador não é zero, e o numerador
é um polinômio bem definido para todo
no plano complexo. Isso significa que a função não tem outras singularidades além dos pontos identificados.
Resposta
Os pontos singulares da função são
,
e
. A função é analítica em todos os demais pontos do plano complexo, pois não possui outras singularidades além desses pontos.