Calcule as integrais abaixo:
(e) integral0^1 2 x e^x^2-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa é uma Integral definida que envolve uma função exponencial e um polinômio. Para resolver, vamos usar a técnica de substituição, que é super útil quando a integral tem esse tipo de combinação de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar. Observamos que no expoente temos u = x^2 - 1 e multiplicando por fora do exponencial. Isso é um indicativo para fazermos uma substituição onde é igual ao que está dentro do exponencial.
Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de du = ddx(x^2 - 1) dx = 2x dx em relação a para encontrar . Derivando :
Olha só, o aparece exatamente na nossa integral original! Isso é ótimo porque podemos substituir toda a parte da integral em termos de .

Passo 4

Vamos substituir na integral:
  • integral0^1 2x e^x^2-1 dx = integral e^u du
Então, a integral original fica:
Agora, temos uma integral bem mais simples de resolver.

Passo 5

Integrando integral e^u du = e^u + C em relação a , sabemos que a antiderivada de é . Então:
Como estamos lidando com uma integral definida de 0 a 1, vamos aplicar os limites de integração.

Passo 6

Antes de aplicar os limites, precisamos expressar os limites em termos de u = (0)^2 - 1 = -1 .
Quando u = (1)^2 - 1 = 0 :
Quando :
Então, os novos limites são de a .

Passo 7

Agora, aplicando os limites na antiderivada:
integral-1^0 e^u du = e^u |-1^0 = e^0 - e^-1
Sabemos que 1 - 1e e , então:

Resposta

O valor da integral é .

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