Calcule as integrais abaixo:
© integral cos ^5 x sin ^9 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral . Aqui estamos lidando com integrais que envolvem potências de funções trigonométricas, especificamente seno e cosseno. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar a integral transformando-a em uma forma mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos observar quais funções estão presentes na integral. Temos e . Quando temos potências ímpares de seno ou cosseno, uma estratégia útil é separar um fator ímpar e usar a identidade para simplificar.

Passo 3

Vamos separar um fator ímpar de integral cos^5 x sin^9 x , dx = integral cos^5 x sin^8 x cdot sin x , dx da , deixando . Assim, podemos reescrever a integral da seguinte forma:

Passo 4

Agora, vamos usar a identidade trigonométrica sin^8 x = (sin^2 x)^4 = (1 - cos^2 x)^4 para simplificar . Podemos reescrever como :

Passo 5

Substituindo de volta na integral:
integral cos^5 x (1 - cos^2 x)^4 cdot sin x , dx
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar ainda mais. Vamos deixar . Então, a derivada de em relação a é , ou seja, .

Passo 6

Substituindo integral u^5 (1 - u^2)^4 cdot (-du) e - integral u^5 (1 - u^2)^4 , du na integral, temos:
Podemos fatorar o sinal negativo:

Passo 7

Agora, vamos expandir (1 - u^2)^4 = 1 - 4u^2 + 6u^4 - 4u^6 + u^8 usando o binômio de Newton:
u^5 (1 - u^2)^4 = u^5 - 4u^7 + 6u^9 - 4u^11 + u^13
Multiplicando por :

Passo 8

Agora, nossa integral fica:
- integral (u^5 - 4u^7 + 6u^9 - 4u^11 + u^13) , du
Podemos integrar termo a termo:
- ( u^66 - 4u^88 + 6u^1010 - 4u^1212 + u^1414 ) + C
Simplificando as frações:
- ( u^66 - u^82 + 3u^105 - u^123 + u^1414 ) + C

Passo 9

Agora, substituímos - ( cos^6 x6 - cos^8 x2 + 3cos^10 x5 - cos^12 x3 + cos^14 x14 ) + C de volta:

Passo 10

Finalmente, distribuindo o sinal negativo:
cos^6 x6 - cos^8 x2 + 3cos^10 x5 - cos^12 x3 + cos^14 x14 + C

Resposta

A integral cos^6 x6 - cos^8 x2 + 3cos^10 x5 - cos^12 x3 + cos^14 x14 + C é igual a:

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