Calcule as integrais abaixo:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral
. Aqui estamos lidando com integrais que envolvem potências de funções trigonométricas, especificamente seno e cosseno. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar a integral transformando-a em uma forma mais fácil de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos observar quais funções estão presentes na integral. Temos
e
. Quando temos potências ímpares de seno ou cosseno, uma estratégia útil é separar um fator ímpar e usar a identidade
para simplificar.
Passo 3
Vamos separar um fator ímpar de
da
, deixando
. Assim, podemos reescrever a integral da seguinte forma:
Passo 4
Agora, vamos usar a identidade trigonométrica
para simplificar
. Podemos reescrever
como
:
Passo 5
Substituindo de volta na integral:
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar ainda mais. Vamos deixar
. Então, a derivada de
em relação a
é
, ou seja,
.
Passo 6
Substituindo
e
na integral, temos:
Podemos fatorar o sinal negativo:
Passo 7
Agora, vamos expandir
usando o binômio de Newton:
Multiplicando por
:
Passo 8
Agora, nossa integral fica:
Podemos integrar termo a termo:
Simplificando as frações:
Passo 9
Agora, substituímos
de volta:
Passo 10
Finalmente, distribuindo o sinal negativo:
Resposta
A integral
é igual a:
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Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
m)
m)
Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
(n) ,
(n)
Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
q)
q)
Calcule as integrais abaixo:
(d)
(d)