Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
q) Q = {x em R / x^2 + 6x + 8 <= 0}

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A questão pede pra gente encontrar, se existirem, o ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo do conjunto . Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com inequações quadráticas, entender o que são pontos de acumulação, máximos, mínimos, supremos e ínfimos. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a inequação quadrática . Para isso, precisamos encontrar as raízes da equação . A gente pode usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Vamos calcular o discriminante:
Como , temos duas raízes reais:
Então,

Passo 3

Agora que temos as raízes e , podemos determinar onde a expressão é menor ou igual a zero. Sabemos que uma parábola abre para cima quando , como é o caso aqui.
Portanto, a inequação será satisfeita entre as raízes. Ou seja, para todo no intervalo fechado de a :
Então, o conjunto é:

Passo 4

Vamos agora identificar os pontos de acumulação de . Em termos simples, pontos de acumulação são aqueles onde, se você pegar números bem pertinho, sempre vai encontrar outros números do conjunto. Para um intervalo fechado como , todo número dentro do intervalo é um ponto de acumulação.
Então, todos os pontos entre e , inclusos, são pontos de acumulação.

Passo 5

Vamos procurar os pontos de máximo e mínimo de . O ponto de máximo é o maior número do conjunto, e o ponto de mínimo é o menor.
No conjunto :
  • O ponto de máximo é , porque é o maior valor do conjunto.
  • O ponto de mínimo é , porque é o menor valor do conjunto.

Passo 6

Agora, vamos determinar o supremo e o ínfimo de . O supremo é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto, e o ínfimo é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos.
Para :
  • O supremo de é (já que é o maior elemento do conjunto).
  • O ínfimo de é (já que é o menor elemento do conjunto).

Resposta

  • Pontos de acumulação: Todos os pontos onde .
  • Ponto de máximo: .
  • Ponto de mínimo: .
  • Supremo: .
  • Ínfimo: .

Exercícios relacionados

Calcule as integrais abaixo:
© integral cos ^5 x sin ^9 x d x
Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
m) M = {x em R / x^2 <= 2}
Calcule as integrais abaixo:
(d) integral tan ^8 x sec ^4 x d x
Determine o conjunto derivado de cada um dos subconjuntos de R. Encontre o supremo e o ínfimo dos seguintes conjuntos.
c) C = { 1/n : n em Z }