Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
q)
q)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A questão pede pra gente encontrar, se existirem, o ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo do conjunto
. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com inequações quadráticas, entender o que são pontos de acumulação, máximos, mínimos, supremos e ínfimos. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a inequação quadrática
. Para isso, precisamos encontrar as raízes da equação
. A gente pode usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Vamos calcular o discriminante:
Como
, temos duas raízes reais:
Então,
Passo 3
Agora que temos as raízes
e
, podemos determinar onde a expressão
é menor ou igual a zero. Sabemos que uma parábola abre para cima quando
, como é o caso aqui.
Portanto, a inequação
será satisfeita entre as raízes. Ou seja, para todo
no intervalo fechado de
a
:
Então, o conjunto
é:
Passo 4
Vamos agora identificar os pontos de acumulação de
. Em termos simples, pontos de acumulação são aqueles onde, se você pegar números bem pertinho, sempre vai encontrar outros números do conjunto. Para um intervalo fechado como
, todo número dentro do intervalo é um ponto de acumulação.
Então, todos os pontos entre
e
, inclusos, são pontos de acumulação.
Passo 5
Vamos procurar os pontos de máximo e mínimo de
. O ponto de máximo é o maior número do conjunto, e o ponto de mínimo é o menor.
No conjunto
:
- O ponto de máximo é
, porque é o maior valor do conjunto. - O ponto de mínimo é
, porque é o menor valor do conjunto.
Passo 6
Agora, vamos determinar o supremo e o ínfimo de
. O supremo é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto, e o ínfimo é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos.
Para
:
- O supremo de
é (já que é o maior elemento do conjunto). - O ínfimo de
é (já que é o menor elemento do conjunto).
Resposta
- Pontos de acumulação: Todos os pontos
onde . - Ponto de máximo:
. - Ponto de mínimo:
. - Supremo:
. - Ínfimo:
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais abaixo:
©
©
Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
m)
m)
Calcule as integrais abaixo:
(d)
(d)
Determine o conjunto derivado de cada um dos subconjuntos de R. Encontre o supremo e o ínfimo dos seguintes conjuntos.
c)
c)