Calcule as integrais abaixo:
(d) integral tan ^8 x sec ^4 x d x

Passo 1

Beleza! A gente tem que calcular a integral de tan^8 x sec^4 x dx. Isso está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas, especificamente potências de tangente e secante. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e identificar padrões que facilitem a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral para facilitar a visualização. Sabemos que tan x = sin xcos x e sec x = 1cos x, mas para integrais com potências de tangente e secante, uma boa estratégia é separar uma parte da secante ao quadrado, já que sabemos que sec^2 x = 1 + tan^2 x. Vamos reescrever a integral assim:
integral tan^8 x sec^4 x dx = integral tan^8 x sec^2 x cdot sec^2 x dx

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição. Vamos deixar u = tan x. Assim, a derivada de u em relação a x é:
dudx = sec^2 x Rightarrow du = sec^2 x dx
Isso é útil porque já temos um sec^2 x dx na nossa integral.

Passo 4

Substituindo u = tan x e du = sec^2 x dx na integral, ficamos com:
integral tan^8 x sec^2 x cdot sec^2 x dx = integral u^8 cdot sec^2 x dx
Mas precisamos expressar tudo em termos de u. Observando que sec^2 x = 1 + tan^2 x = 1 + u^2, substituímos novamente:
integral u^8 (1 + u^2) du

Passo 5

Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
integral u^8 (1 + u^2) du = integral (u^8 + u^10) du
Isso nos facilita a integração, pois agora temos polinômios simples.

Passo 6

Integrando termo a termo:
integral u^8 du = u^99 integral u^10 du = u^1111
Então, a integral fica:
u^99 + u^1111 + C

Passo 7

Agora, substituímos u = tan x de volta para expressar a resposta em termos de x:
tan^9 x9 + tan^11 x11 + C

Resposta

A integral de tan^8 x sec^4 x dx é:
tan^9 x9 + tan^11 x11 + C

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