Calcule as integrais abaixo:
(d)
(d)
Passo 1
Beleza! A gente tem que calcular a integral de
. Isso está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas, especificamente potências de tangente e secante. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e identificar padrões que facilitem a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral para facilitar a visualização. Sabemos que
e
, mas para integrais com potências de tangente e secante, uma boa estratégia é separar uma parte da secante ao quadrado, já que sabemos que
. Vamos reescrever a integral assim:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição. Vamos deixar
. Assim, a derivada de
em relação a
é:
Isso é útil porque já temos um
na nossa integral.
Passo 4
Substituindo
e
na integral, ficamos com:
Mas precisamos expressar tudo em termos de
. Observando que
, substituímos novamente:
Passo 5
Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
Isso nos facilita a integração, pois agora temos polinômios simples.
Passo 6
Integrando termo a termo:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, substituímos
de volta para expressar a resposta em termos de
:
Resposta
A integral de
é: