Calcule as integrais abaixo.
a) integral0^1(t^2+1) e^-t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com Cálculo Integral, especificamente com integrais que envolvem funções polinomiais multiplicadas por funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral0^1 t^2 e^-t , dt + integral0^1 e^-t , dt
Vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 3

Começamos com a segunda integral mais simples:
integral e^-t , dt
A antiderivada de integral0^1 e^-t , dt = [ -e^-t ]0^1 = -e^-1 - (-e^0) = -1e + 1 = 1 - 1e é , então:

Passo 4

Agora, vamos resolver a primeira integral:
integral0^1 t^2 e^-t , dt
Aqui, usamos integração por partes, onde escolhemos integral t^2 e^-t , dt = -t^2 e^-t + integral 2t e^-t , dt e . Então, calculamos e .
Aplicando a fórmula de integração por partes :

Passo 5

Agora, precisamos resolver integral 2t e^-t , dt = -2t e^-t + integral 2 e^-t , dt = -2t e^-t - 2 e^-t . Novamente, usamos integração por partes com e . Então, e .
Aplicando a fórmula:

Passo 6

Voltando à nossa integral inicial:
integral t^2 e^-t , dt = -t^2 e^-t + (-2t e^-t - 2 e^-t) = -t^2 e^-t - 2t e^-t - 2 e^-t
Agora, avaliamos de 0 a 1:
[ -t^2 e^-t - 2t e^-t - 2 e^-t ]0^1
Substituindo -1 cdot e^-1 - 2 cdot e^-1 - 2 cdot e^-1 = -5 e^-1 = -5e :
0 - 0 - 2 cdot e^0 = -2
Substituindo - 5e - (-2) = 2 - 5e :
Calculando a diferença:

Resposta

Somando as duas integrais, temos:
integral0^1(t^2+1) e^-t , dt = (2 - 5e) + (1 - 1e) = 3 - 6e
Então, a resposta final é:
3 - 6e

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