c) Dado o autopar do item (b), encontre, usando a idéia da deflação, uma matriz de Householder H tal que H A H tenha os mesmos autovalores de A e que sua primeira coluna seja igual a lambda1.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Álgebra Linear envolvendo matrizes e autovalores. A gente precisa encontrar uma matriz de Householder chamada H usando a ideia de deflação. O objetivo é que, ao fazer a transformação H A H, a nova matriz resultante tenha os mesmos autovalores que a matriz original A e que sua primeira coluna seja igual ao primeiro autovalor, lambda1. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são autovalores, matrizes de Householder e a técnica de deflação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são autovalores e autovetores. Para uma matriz quadrada A, um autovalorlambda e um autovetorv satisfazem a equação:
Av = lambda v
Isso significa que, ao multiplicar a matriz A pelo vetor v, o resultado é o mesmo que escalar v por lambda.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a deflação. É uma técnica usada para reduzir o grau de uma matriz ou simplificar seu cálculo, especialmente ao encontrar múltiplos autovalores. No contexto deste exercício, a deflação nos ajuda a isolar um autovalor específico para facilitar a construção da matriz de Householder.
Passo 4
A matriz de Householder é uma matriz ortogonal usada para refletir um vetor em relação a um hiperplano. Ela tem a forma:
H = I - 2uu^topu^top u
onde I é a matriz identidade e u é um vetor não nulo. Essa matriz realiza uma reflexão que pode ser usada para transformar matrizes de maneira controlada.
Passo 5
Nosso objetivo é encontrar uma matriz de Householder H tal que:
H A H tenha os mesmos autovalores que A.
A primeira coluna de H A H seja igual ao primeiro autovalor lambda1.
Para isso, vamos seguir os seguintes passos:
Identificar o primeiro autovalor lambda1 de A.
Construir o vetor u necessário para a matriz de Householder de forma que, ao aplicar a transformação, a primeira coluna de H A H seja lambda1.
Passo 6
Assumindo que já conhecemos o autovalor lambda1 de A (que teríamos encontrado no item b)), vamos construir o vetor u. Para isso, queremos que a primeira coluna de H A H seja lambda1. Isso significa que queremos que:
H A H e1 = lambda1 e1
onde e1 é o vetor canônico com 1 na primeira entrada e 0 nas demais.
Passo 7
Para construir u, vamos escolher u de forma que a reflexão produza a coluna desejada. Uma escolha comum é definir:
u = a1 - lambda1 e1
onde a1 é a primeira coluna da matriz A. Essa escolha garante que, após a reflexão, a primeira coluna da matriz transformada seja proporcional a e1, ajustada pelo autovalor lambda1.
Passo 8
Agora, vamos calcular u:
Primeiro, identificamos a primeira coluna de A:
a1 = -3 1 1
Então,
u = -3 1 1 - lambda1 1 0 0 = -3 - lambda1 1 1
Passo 9
Com u definida, podemos montar a matriz de Householder: