Dadas as matrizes:
A=[ccc -3 & 2 & 4 1 & -4 & -1 1 & 1 & -6 ] e B=[ccc -3 & 1 & 0 1 & -4 & 2 0 & 2 & 2 ]
c) Dado o autopar do item (b), encontre, usando a idéia da deflação, uma matriz de Householder H tal que H A H tenha os mesmos autovalores de A e que sua primeira coluna seja igual a lambda1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Álgebra Linear envolvendo matrizes e autovalores. A gente precisa encontrar uma matriz de Householder chamada H usando a ideia de deflação. O objetivo é que, ao fazer a transformação H A H, a nova matriz resultante tenha os mesmos autovalores que a matriz original A e que sua primeira coluna seja igual ao primeiro autovalor, lambda1. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são autovalores, matrizes de Householder e a técnica de deflação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são autovalores e autovetores. Para uma matriz quadrada A, um autovalor lambda e um autovetor v satisfazem a equação:
Av = lambda v
Isso significa que, ao multiplicar a matriz A pelo vetor v, o resultado é o mesmo que escalar v por lambda.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a deflação. É uma técnica usada para reduzir o grau de uma matriz ou simplificar seu cálculo, especialmente ao encontrar múltiplos autovalores. No contexto deste exercício, a deflação nos ajuda a isolar um autovalor específico para facilitar a construção da matriz de Householder.

Passo 4

A matriz de Householder é uma matriz ortogonal usada para refletir um vetor em relação a um hiperplano. Ela tem a forma:
H = I - 2uu^topu^top u
onde I é a matriz identidade e u é um vetor não nulo. Essa matriz realiza uma reflexão que pode ser usada para transformar matrizes de maneira controlada.

Passo 5

Nosso objetivo é encontrar uma matriz de Householder H tal que:
  1. H A H tenha os mesmos autovalores que A.
  2. A primeira coluna de H A H seja igual ao primeiro autovalor lambda1.
Para isso, vamos seguir os seguintes passos:
  • Identificar o primeiro autovalor lambda1 de A.
  • Construir o vetor u necessário para a matriz de Householder de forma que, ao aplicar a transformação, a primeira coluna de H A H seja lambda1.

Passo 6

Assumindo que já conhecemos o autovalor lambda1 de A (que teríamos encontrado no item b)), vamos construir o vetor u. Para isso, queremos que a primeira coluna de H A H seja lambda1. Isso significa que queremos que:
H A H e1 = lambda1 e1
onde e1 é o vetor canônico com 1 na primeira entrada e 0 nas demais.

Passo 7

Para construir u, vamos escolher u de forma que a reflexão produza a coluna desejada. Uma escolha comum é definir:
u = a1 - lambda1 e1
onde a1 é a primeira coluna da matriz A. Essa escolha garante que, após a reflexão, a primeira coluna da matriz transformada seja proporcional a e1, ajustada pelo autovalor lambda1.

Passo 8

Agora, vamos calcular u:
Primeiro, identificamos a primeira coluna de A:
a1 = -3 1 1
Então,
u = -3 1 1 - lambda1 1 0 0 = -3 - lambda1 1 1

Passo 9

Com u definida, podemos montar a matriz de Householder:
H = I - 2uu^topu^top u
Vamos calcular u^top u:
u^top u = (-3 - lambda1)^2 + 1^2 + 1^2 = (lambda1 + 3)^2 + 1 + 1 = (lambda1 + 3)^2 + 2

Passo 10

Substituindo de volta na expressão de H, temos:
H = I - 2(lambda1 + 3)^2 + 2 (-3 - lambda1)^2 & (-3 - lambda1) cdot 1 & (-3 - lambda1) cdot 1 1 cdot (-3 - lambda1) & 1^2 & 1 cdot 1 1 cdot (-3 - lambda1) & 1 cdot 1 & 1^2
Essa é a matriz de Householder que precisamos.

Resposta

A matriz de Householder H encontrada é:
H = I - 2(lambda1 + 3)^2 + 2 (lambda1 + 3)^2 & (lambda1 + 3) & (lambda1 + 3) (lambda1 + 3) & 1 & 1 (lambda1 + 3) & 1 & 1
Essa matriz transforma A de modo que H A H tenha os mesmos autovalores que A e sua primeira coluna seja igual ao primeiro autovalor lambda1.

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f(x) = { 3 / (x - 1) , se x ≠ 1; 3 , se x = 1 }
A função f é contínua em x = 1 ?
Calcule as integrais abaixo:
c) integral 3-2 x^2-x+1 d x
Calcule, caso existam, os limites a seguir: lim x +infty(x^3-x^2-x+1)
Dadas as matrizes:
A=[ccc -3 & 2 & 4 1 & -4 & -1 1 & 1 & -6 ] e B=[ccc -3 & 1 & 0 1 & -4 & 2 0 & 2 & 2 ]
f) Usando o método da potência, calcule o autovalor de B que está mais próximo de 5 .