Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(b) oint zz^3+1 d z, |z|=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem que calcular a integral de contorno oint zz^3+1 dz no caminho onde |z|=2. Isso envolve conceitos de integração complexa, mais especificamente teoria dos resíduos. Vamos precisar identificar os polos da função dentro do círculo de raio 2 e calcular os resíduos nesses pontos para aplicar o teorema dos resíduos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os polos da função zz^3+1. Os polos são os valores de z que fazem o denominador zero, ou seja, as soluções de z^3 + 1 = 0. Resolvendo essa equação:
z^3 = -1
As soluções são:
z = raiz[3]-1 = -1, z = 12 + iraiz32, e z = 12 - iraiz32.

Passo 3

Agora, vamos verificar quais desses polos estão dentro do círculo |z|=2. Calculando o módulo de cada solução:
  • | -1 | = 1 < 2
  • | 12 + iraiz32 | = raiz (12)^2 + (raiz32)^2 = raiz14 + 34 = raiz1 = 1 < 2
  • | 12 - iraiz32 | = 1 < 2
Então, todos os três polos estão dentro do círculo |z|=2.

Passo 4

Vamos aplicar o teorema dos resíduos, que diz que a integral de contorno de uma função analítica é 2pi i vezes a soma dos resíduos dentro do contorno. Ou seja:
oint zz^3+1 dz = 2pi i cdot sum Resíduos dentro de |z|=2í

Passo 5

Agora, precisamos calcular os resíduos da função zz^3+1 em cada um dos três polos encontrados.
A função pode ser escrita como z(z+1)(z - omega)(z - omega^2), onde omega = -1 + iraiz32 e omega^2 = -1 - iraiz32.
Para um polo simples z0, o resíduo é dado por:
Res(f, z0) = z03z0^2 = 13 z0

Passo 6

Calculando os resíduos:
  1. Para z0 = -1:
    Res(f, -1) = 13 (-1) = -13
  2. Para z0 = omega:
    Res(f, omega) = 13 omega
  3. Para z0 = omega^2:
    Res(f, omega^2) = 13 omega^2

Passo 7

Somando os resíduos:
$ Soma = -\frac{1}{3} + \frac{1}{3 \omega} + \frac{1}{3 \omega^2} $
Sabemos que Soma = -13 + 13 omega + 13 omega^2 e omega + omega^2 = -1, então:
omega^3 = 1
Portanto:
1omega + 1omega^2 = omega^2 + omega = -1

Passo 8

Aplicando o teorema dos resíduos:
oint zz^3+1 dz = 2pi i cdot ( -23 ) = -4pi i3

Resposta

A integral é igual a - dfrac43 pi i.

Exercícios relacionados