Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem que calcular a integral de contorno no caminho onde . Isso envolve conceitos de integração complexa, mais especificamente teoria dos resíduos. Vamos precisar identificar os polos da função dentro do círculo de raio 2 e calcular os resíduos nesses pontos para aplicar o teorema dos resíduos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os polos da função . Os polos são os valores de que fazem o denominador zero, ou seja, as soluções de . Resolvendo essa equação:
As soluções são:
, , e .

Passo 3

Agora, vamos verificar quais desses polos estão dentro do círculo . Calculando o módulo de cada solução:
Então, todos os três polos estão dentro do círculo .

Passo 4

Vamos aplicar o teorema dos resíduos, que diz que a integral de contorno de uma função analítica é vezes a soma dos resíduos dentro do contorno. Ou seja:
í

Passo 5

Agora, precisamos calcular os resíduos da função em cada um dos três polos encontrados.
A função pode ser escrita como , onde e .
Para um polo simples , o resíduo é dado por:

Passo 6

Calculando os resíduos:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :

Passo 7

Somando os resíduos:
$ Soma = -\frac{1}{3} + \frac{1}{3 \omega} + \frac{1}{3 \omega^2} $
Sabemos que e , então:
Portanto:

Passo 8

Aplicando o teorema dos resíduos:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais (justifique suas respostas):
(a) , para um contorno C que é um retângulo de vértices .
Calcule o resíduo das seguintes funções para um contorno dado por um círculo de raio igual a .
(f)
Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(i)
Inverta a ordem de integração.
(f)