Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem que calcular a integral de contorno
no caminho onde
. Isso envolve conceitos de integração complexa, mais especificamente teoria dos resíduos. Vamos precisar identificar os polos da função dentro do círculo de raio 2 e calcular os resíduos nesses pontos para aplicar o teorema dos resíduos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os polos da função
. Os polos são os valores de
que fazem o denominador zero, ou seja, as soluções de
. Resolvendo essa equação:
As soluções são:
Passo 3
Agora, vamos verificar quais desses polos estão dentro do círculo
. Calculando o módulo de cada solução:
Então, todos os três polos estão dentro do círculo
.
Passo 4
Vamos aplicar o teorema dos resíduos, que diz que a integral de contorno de uma função analítica é
vezes a soma dos resíduos dentro do contorno. Ou seja:
Passo 5
Agora, precisamos calcular os resíduos da função
em cada um dos três polos encontrados.
A função pode ser escrita como
, onde
e
.
Para um polo simples
, o resíduo é dado por:
Passo 6
Calculando os resíduos:
-
Para
:
-
Para
:
-
Para
:
Passo 7
Somando os resíduos:
$ Soma = -\frac{1}{3} + \frac{1}{3 \omega} + \frac{1}{3 \omega^2} $
Sabemos que
e
, então:
Portanto:
Passo 8
Aplicando o teorema dos resíduos:
Resposta
A integral é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais (justifique suas respostas):
(a) , para um contorno C que é um retângulo de vértices
.
(a)
Calcule o resíduo das seguintes funções para um contorno dado por um círculo de raio igual a
.
(f)
(f)
Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(i)
(i)
Inverta a ordem de integração.
(f)
(f)