Inverta a ordem de integração.
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de inverter a ordem de integração de uma integral dupla. A gente vai precisar entender um pouquinho de cálculo integral, especialmente sobre como mudar os limites de integração quando trocamos a ordem. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar qual é a região que estamos integrando. A integral dada é:
Aqui,
varia de
a
e, para cada
,
varia de
a
. Então, a gente está olhando para todas as combinações de
e
dentro desses limites.
Passo 3
Vamos imaginar isso no plano
. A curva
de
a
vai de
até
(porque
). Então, a região de integração está limitada por:
-
entre e -
entre e
Essa região é como uma faixa que começa em
e vai até a curva
dentro desse intervalo de
.
Passo 4
Agora, para inverter a ordem de integração, queremos primeiro integrar em
e depois em
. Precisamos determinar novos limites para
e
.
Observando a região:
-
varia de a (já que ) - Para cada valor de
, varia de até (porque implica )
Passo 5
Com esses novos limites, a integral com a ordem de integração invertida fica:
Resposta
A integral com a ordem de integração invertida é:
Exercícios relacionados
Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(i)
(i)
Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(b)
(b)
[para entregar] Determine limitantes superior e inferior para:
Determine uma primitiva para cada função: