Inverta a ordem de integração.
(f) integral0^pi4[integral0^tg x f(x, y) d y] d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de inverter a ordem de integração de uma integral dupla. A gente vai precisar entender um pouquinho de cálculo integral, especialmente sobre como mudar os limites de integração quando trocamos a ordem. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar qual é a região que estamos integrando. A integral dada é:
integral0^pi4 [ integral0^tan x f(x, y) , dy ] dx
Aqui, varia de a e, para cada , varia de a . Então, a gente está olhando para todas as combinações de e dentro desses limites.

Passo 3

Vamos imaginar isso no plano . A curva de a vai de até (porque ). Então, a região de integração está limitada por:
  • entre e
  • entre e
Essa região é como uma faixa que começa em e vai até a curva dentro desse intervalo de .

Passo 4

Agora, para inverter a ordem de integração, queremos primeiro integrar em e depois em . Precisamos determinar novos limites para e .
Observando a região:
  • varia de a (já que )
  • Para cada valor de , varia de até (porque implica )

Passo 5

Com esses novos limites, a integral com a ordem de integração invertida fica:
integral0^1 [ integralarctan y^pi4 f(x, y) , dx ] dy

Resposta

A integral com a ordem de integração invertida é:
integral0^1 [ integralarctan y^pi4 f(x, y) , dx ] dy

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