Calcule as seguintes integrais (justifique suas respostas):
(a)
, para um contorno C que é um retângulo de vértices
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
onde o contorno
é um retângulo com vértices em
,
,
e
. Isso está no contexto de Análise Complexa, especificamente usando o Teorema de Cauchy. Para resolver, vamos precisar entender se a função
é analítica dentro e sobre o contorno
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função é analítica se ela é diferenciável em todo ponto do domínio considerado. No caso,
é um polinômio e, como tal, é analítico em todo o plano complexo. Ou seja, não tem singularidades dentro ou sobre o contorno
.
Passo 3
Agora, segundo o Teorema de Cauchy, se uma função é analítica dentro e sobre um contorno fechado, a integral dela ao longo desse contorno é zero. Matematicamente, isso é expresso por:
quando
é analítica no domínio considerado.
Passo 4
Aplicando o teorema ao nosso caso, já que
é analítico em todo lugar, especialmente dentro e sobre o retângulo
, podemos concluir diretamente que:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule o resíduo das seguintes funções para um contorno dado por um círculo de raio igual a
.
(f)
(f)
Calcule o resíduo das seguintes funções para um contorno dado por um círculo de raio igual a
.
(a)
(a)
Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(b)
(b)
Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(i)
(i)