Calcule as seguintes integrais (justifique suas respostas):
(a) , para um contorno C que é um retângulo de vértices .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral onde o contorno é um retângulo com vértices em , , e . Isso está no contexto de Análise Complexa, especificamente usando o Teorema de Cauchy. Para resolver, vamos precisar entender se a função é analítica dentro e sobre o contorno .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é analítica se ela é diferenciável em todo ponto do domínio considerado. No caso, é um polinômio e, como tal, é analítico em todo o plano complexo. Ou seja, não tem singularidades dentro ou sobre o contorno .

Passo 3

Agora, segundo o Teorema de Cauchy, se uma função é analítica dentro e sobre um contorno fechado, a integral dela ao longo desse contorno é zero. Matematicamente, isso é expresso por:
quando é analítica no domínio considerado.

Passo 4

Aplicando o teorema ao nosso caso, já que é analítico em todo lugar, especialmente dentro e sobre o retângulo , podemos concluir diretamente que:

Resposta

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Calcule o resíduo das seguintes funções para um contorno dado por um círculo de raio igual a .
(f)
Calcule o resíduo das seguintes funções para um contorno dado por um círculo de raio igual a .
(a)
Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(b)
Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(i)