Calcule as seguintes integrais (justifique suas respostas):
(a) oint z^3 d z, para um contorno C que é um retângulo de vértices 1,2 i,-1,-2 i.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral onde o contorno é um retângulo com vértices em , , e . Isso está no contexto de Análise Complexa, especificamente usando o Teorema de Cauchy. Para resolver, vamos precisar entender se a função é analítica dentro e sobre o contorno .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é analítica se ela é diferenciável em todo ponto do domínio considerado. No caso, é um polinômio e, como tal, é analítico em todo o plano complexo. Ou seja, não tem singularidades dentro ou sobre o contorno .

Passo 3

Agora, segundo o Teorema de Cauchy, se uma função é analítica dentro e sobre um contorno fechado, a integral dela ao longo desse contorno é zero. Matematicamente, isso é expresso por:
ointC f(z) , dz = 0
quando é analítica no domínio considerado.

Passo 4

Aplicando o teorema ao nosso caso, já que ointC z^3 , dz = 0 é analítico em todo lugar, especialmente dentro e sobre o retângulo , podemos concluir diretamente que:

Resposta

ointC z^3 , dz = 0

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