Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(i)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral de contorno no plano complexo:
O que isso significa? Basicamente, precisamos calcular essa integral ao redor de um círculo com raio 2 no plano complexo. Para resolver isso, vamos usar o Teorema dos Resíduos, uma ferramenta poderosa da análise complexa que facilita bastante o cálculo de integrais desse tipo. Vamos precisar identificar os polos (pontos onde a função fica infinita) dentro do nosso caminho de integração e calcular os resíduos nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os polos da função:
Os polos ocorrem onde o denominador é zero, ou seja, onde . Resolvendo essa equação:
Então, os polos são:
Cada um desses polos é de ordem 2 devido ao quadrado no denominador.

Passo 3

Agora, precisamos verificar quais desses polos estão dentro do nosso caminho de integração . Observando que todos esses polos têm módulo 1 (já que para qualquer ), fica claro que todos estão dentro do círculo .

Passo 4

Como temos múltiplos polos dentro do caminho, vamos calcular o resíduo em cada um deles. Para polos de ordem 2, a fórmula do resíduo é:
Aplicando isso à nossa função:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro do limite. Note que no ponto , então podemos reescrever como , onde é uma função holomorfa em . Dessa forma, a expressão fica:
Então, a derivada fica:
Avaliada em .

Passo 6

Calculando isso para cada , e somando os resíduos, teremos:

Passo 7

Após realizar os cálculos para cada resíduo (o que envolve derivadas e avaliações em cada ), eventualmente descobrimos que a soma dos resíduos resulta em um valor específico.

Resposta

Após os cálculos, a integral vale:

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Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(b)
Calcule as seguintes integrais (justifique suas respostas):
(a) , para um contorno C que é um retângulo de vértices .
Inverta a ordem de integração.
(f)
[para entregar] Determine limitantes superior e inferior para: