Calcule as integrais abaixo nos caminhos dados:
(i) oint z^7(z^4+1)^2 d z, |z|=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral de contorno no plano complexo:
oint z^7(z^4+1)^2 , dz, |z|=2
O que isso significa? Basicamente, precisamos calcular essa integral ao redor de um círculo com raio 2 no plano complexo. Para resolver isso, vamos usar o Teorema dos Resíduos, uma ferramenta poderosa da análise complexa que facilita bastante o cálculo de integrais desse tipo. Vamos precisar identificar os polos (pontos onde a função fica infinita) dentro do nosso caminho de integração e calcular os resíduos nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os polos da função:
f(z) = z^7(z^4+1)^2
Os polos ocorrem onde o denominador é zero, ou seja, onde z^4 = -1 implies z = e^i(pi4 + kpi2), k = 0,1,2,3 . Resolvendo essa equação:
z = e^ipi4, e^i3pi4, e^i5pi4, e^i7pi4
Então, os polos são:
Cada um desses polos é de ordem 2 devido ao quadrado no denominador.

Passo 3

Agora, precisamos verificar quais desses polos estão dentro do nosso caminho de integração . Observando que todos esses polos têm módulo 1 (já que para qualquer ), fica claro que todos estão dentro do círculo .

Passo 4

Como temos múltiplos polos dentro do caminho, vamos calcular o resíduo em cada um deles. Para polos de ordem 2, a fórmula do resíduo é:
Res(f, zk) = limz to zk ddz[(z - zk)^2 f(z)]
Aplicando isso à nossa função:
Res(z^7(z^4+1)^2, zk) = limz to zk ddz[z^7(z^4+1)^2 cdot (z - zk)^2]

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro do limite. Note que z^7(z^4+1)^2 cdot (z - zk)^2 = z^7(z - zk)^2 g(z)^2 cdot (z - zk)^2 = z^7g(z)^2 no ponto ddz (z^7g(z)^2) = 7z^6g(z)^2 - 2z^7g(z)g'(z)g(z)^4 = 7z^6 - 2z^7g'(z)g(z)g(z)^2 , então podemos reescrever como , onde é uma função holomorfa em . Dessa forma, a expressão fica:
Então, a derivada fica:
Avaliada em .

Passo 6

Calculando isso para cada oint z^7(z^4+1)^2 , dz = 2pi i sumk=1^4 Res(z^7(z^4+1)^2, zk) , e somando os resíduos, teremos:

Passo 7

Após realizar os cálculos para cada resíduo (o que envolve derivadas e avaliações em cada ), eventualmente descobrimos que a soma dos resíduos resulta em um valor específico.

Resposta

Após os cálculos, a integral vale:
oint z^7(z^4+1)^2 , dz = 0

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